Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6767 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33701 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33701
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=(x-1)^{2}-4\) και \(g(x)=|x-1|+2\) με \(x\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του \(x\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\) αν και μόνο αν \(f(x)>0\), οπότε ισοδύναμα έχουμε:

$$(x-1)^{2}-4>0 $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}>4 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}}>4 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|>2$$

Η τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:

$$x-1<-2\ \ \text{ή}\ \ x-1>2$$

από όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:

$$x<-1\ \ \text{ή}\ \ x>3$$

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\) αν και μόνο αν:

$$g(x)>0 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|+2>0$$

το οποίο ισχύει για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) αφού \(|x-1|\ge 0\) και \(2>0\).

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\), προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}-4=|x-1|+2$$

η οποία γράφεται:

$$|x-1|^{2}-4=|x-1|+2 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|^{2}-|x-1|-6=0$$

Στην τελευταία σχέση θέτουμε \(|x-1|=y\), οπότε η εξίσωση γράφεται:

$$y^{2}-y-6=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)$$ $$=1+24=25>0$$

και ρίζες τις:

$$y_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 5}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1+5}{2}=3 \\ \dfrac{1-5}{2}=-2 \end{cases}$$

Άρα για \(y=|x-1|\) έχουμε:

  • \(|x-1|=3 \Leftrightarrow (x-1=3\ \ \text{ή}\ \ x-1=-3) \Leftrightarrow x=4\ \ \text{ή}\ \ x=-2\)
  • \(|x-1|=-2\) που είναι αδύνατη

Θέτοντας \(x=4\) στον τύπο της συνάρτησης \(g\) βρίσκουμε:

$$g(4)=|4-1|+2$$ $$=|3|+2=5$$

Θέτοντας \(x=-2\) στον τύπο της συνάρτησης \(g\) βρίσκουμε:

$$g(-2)=|-2-1|+2$$ $$=|-3|+2$$ $$=3+2=5$$

Άρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) είναι τα:

$$Α(-2,5)\ \ \text{και}\ \ Β(4,5)$$