Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7885 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33712 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33712
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο: \(x^{2}+βx+β^{2}\), όπου \(β\in \mathbb{R}\).
α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα \(Δ\) του τριωνύμου.
(Μονάδες 4)

β)
i. Αν \(β≠0\), τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;
(Μονάδες 7)

ii. Πως αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν \(β=0\) ;
(Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0$$

για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α,\ β$ που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα $0$. (Μονάδες 8)

α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: \(Δ=β^{2}-4⋅1⋅β^{2}=-3β^{2}\)

β)
i. Για \(β≠0\) ισχύει ότι: \(Δ=-3β^{2}\lt 0.\)
Επειδή ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(1>0\), το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

ii. Για \(β=0\) είναι \(Δ=0\), οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \(x\in \mathbb{R}-\{0\}\), αφού για \(x=0\) μηδενίζεται.

γ) Το τριώνυμο \(α^{2}+αβ+β^{2}\) προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για \(x=α\). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

  • Περίπτωση 1η
    Αν \(β≠0\) τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$

  • Περίπτωση 2η
    Αν \(β=0\) (οπότε \(α≠0\) ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$