Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3722 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33754 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Μαΐ-2024 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33754
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Μαΐ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία \(Α\) χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:

$$y=60+0,20x$$

Όπου \(x\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \(km\) και \(y\) το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.

α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας \(Α\) ο οποίος, σε μια ημέρα, ταξίδεψε \(400\ Km\);
(Μονάδες 5)

β) Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένας πελάτης ο οποίος για μια ημέρα πλήρωσε \(150\) ευρώ;
(Μονάδες 5)

γ) Μια άλλη εταιρεία, η \(Β\), χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον τύπο:

$$y=80+0,10x$$

όπου, όπως και προηγουμένως, \(x\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \(km\) και \(y\) είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε.
(Μονάδες 10)

δ) Αν:

$$f(x)=60+0,20x\ \ \text{και}\ \ g(x)=80+0,10x$$

είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών \(Α\) και \(Β\) αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή κάθε μιας από τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα το ερωτήματος γ).
(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \(x=400\) και βρίσκουμε:

$$y=60+0,20\cdot 400=140\ \text{ευρώ}$$

β) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \(y=150\) και βρίσκουμε:

$$150=60+0,20x $$ $$\Leftrightarrow 90=0,20x $$ $$\Leftrightarrow x=450\ km$$

γ) Η εταιρεία \(Α\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \(Β\) αν και μόνο αν:

$$60+0,20x<80+0,10x $$ $$\Leftrightarrow 0,20x-0,10x<80-60 $$ $$\Leftrightarrow 0,10x<20 $$ $$\Leftrightarrow x<200\ km$$

Συνεπώς η εταιρεία \(Α\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \(Β\) αν ο πελάτης διανύσει λιγότερα από \(200\ km\). Με τον ίδιο συλλογισμό, συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία \(Β\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \(Α\) αν ο πελάτης διανύσει περισσότερα από \(200\ km\).

δ) Επειδή o αριθμός \(x\) εκφράζει απόσταση θα πρέπει \(x\ge 0\). Άρα, οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \([0,+\infty)\). Οι τετμημένες των σημείων τομής προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow 60+0,20x=80+0,10x $$ $$\Leftrightarrow 0,20x-0,10x=80-60 $$ $$\Leftrightarrow 0,10x=20 $$ $$\Leftrightarrow x=200>0\ \ \text{αποδεκτή}$$

Για \(x=200\) είναι \(f(200)=60+0,20\cdot 200=60+40=100\). Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Α(200,100)\).

Η τετμημένη \(x=200\) του σημείου \(Α\) εκφράζει τα χιλιόμετρα που θα πρέπει να διανύσει κάποιος με το αυτοκίνητο ώστε να πληρώσει και στις δύο εταιρείες το ίδιο ποσό, που εκφράζει η τεταγμένη \(y=100\), έχοντας διανύσει τα ίδια χιλιόμετρα.