Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6060 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33855 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33855
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Θεωρούμε την εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\), με παράμετρο \(α\in \mathbb{R}\).

  1. Να βρείτε για ποιες τιμές του \(α\) η εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
    (Μονάδες 6)

  2. Να βρείτε την τιμή του \(α\) ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε.
    (Μονάδες 6)

β) Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}+2x+3\), \(x\in \mathbb{R}\).

  1. Να αποδείξετε ότι \(f(x)\ge 2\) για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).
    (Μονάδες7)

  2. Να λύσετε την ανίσωση \(\sqrt{f(x)-2}\le 2\).
    (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\) ισοδύναμα γράφεται:

$$x^{2}+2x+3-α=0\ \ \ \ (1)$$

και έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=2^{2}-4\cdot 1\cdot (3-α)=$$ $$=4-12+4α=4α-8$$

  1. Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α>8 $$ $$\Leftrightarrow α>2$$

  1. Η εξίσωση \((1)\) έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνο αν:

    $$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α=8 $$ $$\Leftrightarrow α=2$$

    Για \(α=2\) η διπλή ρίζα είναι η:

    $$x=\dfrac{-β}{2α}$$ $$=\dfrac{-2}{2}=-1$$

β)

  1. Είναι:

    $$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}\ge 0$$

    το οποίο ισχύει για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

  2. Από το ερώτημα β)i. έχουμε ότι:

    $$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\ge 0$$

    για κάθε \(x\in \mathbb{R}\). Οπότε ισοδύναμα έχουμε:

    $$\sqrt{f(x)-2}\le 2 $$ $$\Leftrightarrow (\sqrt{f(x)-2})^{2}\le 2^{2} $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\le 4 $$ $$\Leftrightarrow f(x)\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-3\le 0$$

    Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

    $$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)$$ $$=4+12=16>0$$

    και ρίζες τις:

    $$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+4}{2}=1 \\ \dfrac{-2-4}{3}=-3 \end{cases}$$

    Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

    Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    $$x^{2}+2x-3\le 0 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1 $$ $$\Leftrightarrow x\in [-3,1]$$