Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4876 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33858 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33858
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Σε αριθμητική πρόοδο \((α_{ν})\) είναι \(α_{2}=κ^{2}\) και \(α_{3}=(κ+1)^{2}\), όπου \(κ\) ακέραιος με \(κ>1\).

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \(ω\) της προόδου είναι περιττός αριθμός.
(Μονάδες 8)

β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι \(α_{1}=2\), τότε:

  1. Να βρείτε την τιμή του \(κ\) και να αποδείξετε ότι \(ω=7\).
    (Μονάδες 8)

  2. Να εξετάσετε αν ο αριθμός \(72\) είναι όρος της προόδου.
    (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Για τη διαφορά \(ω\) της προόδου ισχύει ότι:

$$ω=α_{3}-α_{2}=(κ+1)^{2}-κ^{2}$$ $$=κ^{2}+2κ+1-κ^{2}=2κ+1\ \ \ \ (1)$$

Άρα, η διαφορά \(ω\) είναι περιττός αριθμός.

β)

  1. Έχουμε ότι:

$$α_{2}=α_{1}+ω $$ $$\overset{(1)}{\Leftrightarrow} κ^{2}=2+2κ+1 $$ $$\Leftrightarrow κ^{2}-2κ-3=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=16>0$$

και ρίζες τις:

$$κ_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2+4}{2}=3 \\ \dfrac{2-4}{2}=-1 \end{cases}$$

Η τιμή \(κ=-1\) απορρίπτεται γιατί \(κ>1\). Άρα, \(κ=3\). Οπότε, από τη σχέση \((1)\) έχουμε:

$$ω=2\cdot 3+1=7$$

  1. Για να είναι ο \(72\) όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\) τέτοιος ώστε:

$$α_{ν}=72 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+(ν-1)7=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+7ν-7=72 $$ $$\Leftrightarrow 7ν=77 $$ $$\Leftrightarrow ν=11$$

Άρα, ο αριθμός \(72\) είναι ο 11ος όρος της προόδου.