Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5134 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 33858 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 26-Φεβ-2023 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 33858 | ||
Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Σε αριθμητική πρόοδο \((α_{ν})\) είναι \(α_{2}=κ^{2}\) και \(α_{3}=(κ+1)^{2}\), όπου \(κ\) ακέραιος με \(κ>1\).
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \(ω\) της προόδου είναι περιττός αριθμός.
(Μονάδες 8)
β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι \(α_{1}=2\), τότε:
Να βρείτε την τιμή του \(κ\) και να αποδείξετε ότι \(ω=7\).
(Μονάδες 8)Να εξετάσετε αν ο αριθμός \(72\) είναι όρος της προόδου.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Για τη διαφορά \(ω\) της προόδου ισχύει ότι:
$$ω=α_{3}-α_{2}=(κ+1)^{2}-κ^{2}$$ $$=κ^{2}+2κ+1-κ^{2}=2κ+1\ \ \ \ (1)$$
Άρα, η διαφορά \(ω\) είναι περιττός αριθμός.
β)
- Έχουμε ότι:
$$α_{2}=α_{1}+ω $$ $$\overset{(1)}{\Leftrightarrow} κ^{2}=2+2κ+1 $$ $$\Leftrightarrow κ^{2}-2κ-3=0$$
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=16>0$$
και ρίζες τις:
$$κ_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2+4}{2}=3 \\ \dfrac{2-4}{2}=-1 \end{cases}$$
Η τιμή \(κ=-1\) απορρίπτεται γιατί \(κ>1\). Άρα, \(κ=3\). Οπότε, από τη σχέση \((1)\) έχουμε:
$$ω=2\cdot 3+1=7$$
- Για να είναι ο \(72\) όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\) τέτοιος ώστε:
$$α_{ν}=72 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+(ν-1)7=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+7ν-7=72 $$ $$\Leftrightarrow 7ν=77 $$ $$\Leftrightarrow ν=11$$
Άρα, ο αριθμός \(72\) είναι ο 11ος όρος της προόδου.