Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7403 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33888 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33888
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α\) και \(β\) για τους οποίους ισχύει:

$$(α-1)(1-β)>0$$

α) Να δείξετε ότι το \(1\) είναι μεταξύ των \(α\) και \(β\).
(Μονάδες13)

β) Αν επιπλέον \(|β-α|=4\), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$$Κ=|α-1|+|1-β|$$

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Αφού \((α-1)(1-β)>0\), οι \((α-1)\) και \((1-β)\) είναι ομόσημοι, οπότε:

$$\begin{cases} α-1>0 \\ \text{και} \\ 1-β>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α>1 \\ \text{και} \\ β<1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow β<1<α$$

ή

$$\begin{cases} α-1<0 \\ \text{και} \\ 1-β<0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α<1 \\ \text{και} \\ β>1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow α<1<β$$

Σε κάθε περίπτωση το \(1\) είναι μεταξύ των \(α\) και \(β\).

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

  1. Αν \(β<1<α\), τότε:
    \(0<α-1 \Rightarrow |α-1|=α-1\),
    \(0<1-β \Rightarrow |1-β|=1-β\) και
    \(β-α<0 \Rightarrow |β-α|=α-β\) άρα,
    \(|β-α|=4 \Leftrightarrow α-β=4\).
    Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4\).

  2. Αν \(α<1<β\), τότε:
    \(α-1<0 \Rightarrow |α-1|=1-α\),
    \(1-β<0 \Rightarrow |1-β|=β-1\) και
    \(β-α>0 \Rightarrow |β-α|=β-α\) άρα,
    \(|β-α|=4 \Leftrightarrow β-α=4\).
    Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4\).