Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4477 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33893 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33893
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει \(|x-4|<2\).
(Μονάδες 7)

β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό \(x\) του οποίου η απόσταση από το \(4\) πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από \(2\).

  1. Να δείξετε ότι \(3x-4>0\).
    (Μονάδες 5)

  2. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού \(x\) από το \(4\) είναι μεγαλύτερη του \(2\) και μικρότερη του \(14\).
    (Μονάδες 5)

  3. Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της απόστασης του \(3x\) από το \(19\).
    (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$ |x-4|<2 $$ $$\Rightarrow -2 < x-4 < 2$$ $$\Rightarrow 4-2 < x < 2+4$$ $$\Rightarrow 2 < x < 6$$

Άρα \(x\in (2,6)\).

β) Πάνω στο άξονα των πραγματικών αριθμών η απόσταση του \(x\) από το \(4\) είναι μικρότερη από \(2\), δηλαδή:

Άρα \(2<x<6\).

  1. Έχουμε:

    $$2 < x < 6$$ $$\Rightarrow 2\cdot 3 < 3x < 6\cdot 3$$ $$\Rightarrow 6 < 3x < 18$$ $$\Rightarrow 6-4 < 3x-4 < 18-4$$ $$\Rightarrow 2 < 3x-4 < 14$$

    και συνεπώς \(3x-4>0\).

  2. Θα δείξουμε ότι \(2<d(3x,4)<14\).

    Ισχύει ότι \(d(3x,4)=|3x-4|\overset{(i)}{=}3x-4\). Από το βi) ερώτημα \(2<3x-4<14\), οπότε \(2<d(3x,4)<14\).

  3. Η απόσταση του \(3x\) από το \(19\) συμβολίζεται \(d(3x,19)=|3x-19|\).
    Από το βi) ερώτημα έχουμε \(2<3x-4<14\) οπότε αφαιρούμε από τα μέλη της ανίσωσης \(15\) και έχουμε: \(-13<3x-19<-1\), δηλαδή \(3x-19<0\). Οπότε \(d(3x,19)=|3x-19|=-3x+19\).
    Έχουμε \(-13<3x-19<-1\), δηλαδή \(13>-3x+19>1\) οπότε \(1<d(3x,19)<13\).