Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6209 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33894 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33894
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{x^{2}-5x+6}{|2-x|}\).

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \(f\).
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=\begin{cases} x-3\ \text{,}\ & x>2 \\ -x+3\ \text{,}\ & x\lt 2 \end{cases}\).
(Μονάδες 7)

γ)
i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της \(f\).
(Μονάδες 4)

ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).
(Μονάδες 4)

δ) Να λύσετε την ανίσωση \(f(x)\le 0\).
(Μονάδες 5)

α) Πρέπει \(|2-x|\ne 0 \Leftrightarrow 2-x\ne 0 \Leftrightarrow x\ne 2\).
Άρα \(Α_{f}=(-\infty ,2)\cup (2,+\infty)\).

β) Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει άθροισμα ριζών

$$S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{-β}{α}=5$$

και γινόμενο ριζών

$$P=x_{1}x_{2}=\dfrac{γ}{α}=6$$

άρα οι ρίζες του είναι: \(x_{1}=2\ x_{2}=3\).
Οπότε \(x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)\).

Έχουμε:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x^{2}-5x+6}{|2-x|}\\ & =\dfrac{(x-2)(x-3)}{|2-x|} \\ & =\begin{cases} \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)}=x-3\ \text{,}\ &x>2 \\ \dfrac{(x-2)(x-3)}{(2-x)} =-x+3\ \text{,}\ &x\lt 2 \end{cases}\end{align}$$

γ)
i.
Για \(x>2\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία με εξίσωση \(y=x-3\). Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα \((3,0)\) και \((4,1)\). Για \(x\lt 2\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία με εξίσωση \(y=-x+3\). Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα \((1,2)\) και \((0,3)\). Άρα η γραφική παράσταση της \(f\) είναι:

ii. Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(x'x\) άξονα στο σημείο \((3,0)\) και τον \(y'y\) άξονα στο \((0,3)\).

δ) Από το γi. ερώτημα, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της \(f\) είναι κάτω από τον άξονα \(x'x\) για \(x\in (2,3)\) και τέμνει τον \(x'x\) στο \((3,0)\) (δηλαδή \(f(3)=0\)). Άρα η ανίσωση \(f(x)\le 0\) αληθεύει για \(x\in (2,3]\).