Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7603 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33895 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33895
Ύλη: 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\), με παράμετρο \(α\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \(f\).
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=2x-α\), για κάθε \(x\) που ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(f\).
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την τιμή του \(α\in \mathbb{R}\), αν η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \((1,-1)\).
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).
(Μονάδες 5)

α) Πρέπει \(2x-3\ne 0 \Leftrightarrow 2x\ne 3 \Leftrightarrow x\ne \dfrac{3}{2}\).

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \(Α_{f}=\big(-\infty ,\frac{3}{2}\big)\cup \big(\frac{3}{2},+\infty\big)\).

β) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης \(f\). Έχουμε:

$$\begin{align} 4x^{2}-2(α+3)x+3α & =4x^{2}-2αx-6x+3α \\ &=2x(2x-α)-3(2x-α)\\ &=(2x-α)(2x-3)\end{align}$$

Άρα:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\ &=\dfrac{(2x-α)(2x-3)}{2x-3}\\ &=2x-α, \text{ για κάθε } x\ne \dfrac{3}{2}\end{align}$$

γ) Η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \((1,-1)\), δηλαδή \(f(1)=-1\),οπότε \(2\cdot 1-α=-1\) και τελικά \(α=3\).

δ) Η γραφική παράσταση της \(f(x)=2x-α\) είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη \(\dfrac{3}{2}\), δηλαδή του σημείου \(\big(\frac{3}{2},3-α\big)\).

  • Αν \(α=3\), η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον \(x'x\) άξονα (το σημείο \(\big(\frac{3}{2},0\big)\) δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \(f\)). Τέμνει τον \(y'y\) άξονα στο \((0,-3)\), γιατί \(f(0)=2\cdot 0-α=-α=-3\).
  • Αν \(α\ne 3\) :
    Για \(y=0\) έχουμε \(0=2x-α \Leftrightarrow x=\dfrac{α}{2}\) και η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(x'x\) άξονα στο σημείο \(Α\big(\frac{α}{2},0\big)\).

Για \(x=0\), έχουμε \(y=2\cdot 0-α=-α\) και η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον τον \(y'y\) άξονα στο \(Β(0,-α)\).

  • Ειδικά στην περίπτωση που \(α=0\), τα παραπάνω σημεία \(Α\) και \(Β\) έχουν συντεταγμένες \((0,0)\), οπότε η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.