Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4631 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33896 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33896
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Για τους πραγματικούς αριθμούς \(α , β\in \mathbb{R}\) ισχύει ότι: \(|α-2|<1\) και \(|β-3|\le 2\).

α) Να αποδείξετε ότι \(1<α<3\).
(Μονάδες 4)

β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο \(β\).
(Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \(2α-3β\).
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \(\dfrac{α}{β}\).
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|α-2|<1$$ $$\Rightarrow -1<α-2<1$$ $$\Rightarrow -1+2<α<1+2$$ $$\Rightarrow 1<α<3$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|β-3|\le 2$$ $$\Rightarrow -2\le β-3\le 2$$ $$\Rightarrow 3-2\le β\le 3+2$$ $$\Rightarrow 1\le β\le 5$$

γ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \(2α-3β\) = \(2α+(-3β)\).
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:
\(1<α<3\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \(2\) έχουμε:

$$2<2α<6\ \ \ \ (1)$$

και \(1\le β\le 5\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \(-3\) έχουμε: \(-3\cdot 1\ge -3β\ge -3\cdot 5\) και ισοδύναμα:

$$-15\le -3β\le -3\ \ \ \ (2)$$

Προσθέτουμε τις \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη, οπότε:

$$-13<2α+(-3β)<3$$ $$\Rightarrow -13<2α-3β<3$$

δ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \(\dfrac{α}{β}=α\cdot \dfrac{1}{β}\).
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:

$$1<α<3\ \ \ \ (3)$$

και \(1\le β\le 5\), οπότε ισοδύναμα \(\dfrac{1}{1}\ge \dfrac{1}{β}\ge \dfrac{1}{5}\), δηλαδή:

$$\dfrac{1}{5}\le \dfrac{1}{β}\le 1\ \ \ \ (4)$$

Πολλαπλασιάζουμε τις \((3)\) και \((4)\) κατά μέλη, οπότε: \(1\cdot \dfrac{1}{5}<α\cdot \dfrac{1}{β}<3\cdot 1\), δηλαδή \(\dfrac{1}{5}<\dfrac{α}{β}<3\).