Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 852 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34150 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 10-Μαΐ-2023 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού | |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34150 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε:
\(α+ β=12\) και \(α^{2}+β^{2}=272\)
α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας \((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\), να δείξετε ότι:
\(α\cdot β=-64\)
(Μονάδες 08)
β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α,\ β\).
(Μονάδες 10)
γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς \(α,\ β.\)
(Μονάδες07)
α) Αντικαθιστώντας στην ταυτότητα \((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\) τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:
$$12^2 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 2αβ = – 128$$ $$\Leftrightarrow αβ = – 64$$
β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \(x^2 – Sx + P = 0\) με
\(S = α + β = 12\) και \(Ρ = αβ= – 64\)
Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:
$$x^2 – 12x – 64 = 0$$
γ) Για \(α = 1,\ β = – 12\) και \(γ = – 64\), βρίσκουμε:
\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (– 64) = 144 + 256 = 400 > 0.\)
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
\begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α} \\ & =\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{21} \\ & =\dfrac{12\pm 20}{2} \\ & =\begin{cases} \dfrac{12+20}{2}=16 \\ \dfrac{12-20}{2}=-4 \end{cases}\end{align}
Άρα είναι:
\((α = 16 \text{ και } β = -4) \text{ ή } (α = -4 \text{ και } β = 16)\)