Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 8680 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 34150 | Θέμα: | 2 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαρ-2024 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 2 | ||
Κωδικός Θέματος: | 34150 | ||
Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί \(α\), \(β\), τέτοιοι ώστε:
$$α+ β=12$$
και
$$α^{2}+β^{2}=272$$
α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας \((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\), να δείξετε ότι:
$$α\cdot β=-64$$
(Μονάδες 8)
β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\).
(Μονάδες 10)
γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς \(α\), \(β\).
(Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
$$(α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow 12^2 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow αβ = – 64$$
β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η \(x^2 – Sx + P = 0\), όπου \(S = α + β = 12\) και \(Ρ = αβ= – 64\).
Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η:
$$x^2 – 12x – 64 = 0$$
γ) Το τριώνυμο \(x^2-12x-64\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ = (– 12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (– 64)$$ $$= 144 + 256 = 400 > 0$$
Οι ρίζες της εξίσωσης \(x^2-12x-64=0\) είναι:
\begin{align} α,β &= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} \\ & =\dfrac{12\pm 20}{2} \\ & =\begin{cases} \dfrac{12+20}{2}=16 \\ \dfrac{12-20}{2}=-4 \end{cases}\end{align}
Άρα \(α = 16\), \(β = -4\) ή \(α = -4\), \(β = 16\).