Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5630 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34150 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34150
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί \(α\), \(β\), τέτοιοι ώστε:

$$α+ β=12$$

και

$$α^{2}+β^{2}=272$$

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας \((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\), να δείξετε ότι:

$$α\cdot β=-64$$

(Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\).
(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς \(α\), \(β\).
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$(α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow 12^2 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow αβ = – 64$$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η \(x^2 – Sx + P = 0\), όπου \(S = α + β = 12\) και \(Ρ = αβ= – 64\).

Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η:

$$x^2 – 12x – 64 = 0$$

γ) Το τριώνυμο \(x^2-12x-64\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ = (– 12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (– 64)$$ $$= 144 + 256 = 400 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης \(x^2-12x-64=0\) είναι:

\begin{align} α,β &= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} \\ & =\dfrac{12\pm 20}{2} \\ & =\begin{cases} \dfrac{12+20}{2}=16 \\ \dfrac{12-20}{2}=-4 \end{cases}\end{align}

Άρα \(α = 16\), \(β = -4\) ή \(α = -4\), \(β = 16\).