Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5119 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34158 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34158
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Σε αριθμητική πρόοδο \((α_ν)\) είναι \(α_{1}=2\) και \(α_{5}=14\).

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \(ω\) της προόδου είναι ίση με \(3\).
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \((α_ν)\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με \(77.\)

(Δίνεται: \(\sqrt{1849}=43\) ).
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

$$α_{5}=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$ $$\Leftrightarrow 4ω=12$$ $$\Leftrightarrow ω=3$$

**β)$ Έχουμε:

$$S_{ν}=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2\cdot 2+(ν-1)3]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(3ν+1)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3ν^{2}+ν}{2}=77$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν=154$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν-154=0,\ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ = β^2 – 4αγ = 12 – 4 3 (– 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

\begin{align} ν_{\text{1,2}} & = \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ &=\dfrac{-1\pm \sqrt{1849}}{23}\\ &=\dfrac{-1\pm 43}{6}\\ & =\begin{cases} \dfrac{-1+43}{6}=7 \\ \dfrac{-1-43}{6}=-\dfrac{44}{6} \end{cases} \end{align}

Η τιμή \(ν = – \dfrac{44}{6}\) απορρίπτεται, καθώς \(ν\in \mathbb{Ν}\). Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους \(7\) πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με \(77.\)