α) Είναι:

$$|2x-5|\le 3 $$ $$\Leftrightarrow -3\le 2x-5\le 3 $$ $$\Leftrightarrow -3+5\le 2x-5+5\le 3+5 $$ $$\Leftrightarrow 2\le 2x\le 8 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{2}{2}\le \dfrac{2x}{2}\le \dfrac{8}{2} $$ $$\Leftrightarrow 1\le x\le 4\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(2x^{2}-x-1\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot (-1)$$ $$=1+8=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{4}$$ $$=\cases{ \dfrac{4}{4} =1 \\ \dfrac{-2}{4} = - \dfrac{1}{2}}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει:

$$2x^{2}-x-1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\le -\dfrac{1}{2}\ \ \text{ή}\ \ x\ge 1\ \ \ \ (2)$$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) στον ίδιο άξονα αριθμών:

Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι:

$$1\le x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [1,4]$$