Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7267 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34180 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34180
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι αριθμοί \(2\), \(x\) ,\(8\), \(x\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε την τιμή του \(x\), ώστε οι αριθμοί \(2\), \(x\), \(8\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά \(ω\) αυτής της προόδου;
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τον αριθμό \(x\), ώστε οι \(2\), \(x\) ,\(8\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος \(λ\) αυτής της προόδου;
(Μονάδες 7)

γ) Αν \((α_{ν})\) είναι η αριθμητική πρόοδος \(2,5,8,11,...\) και \((β_{ν})\) η γεωμετρική πρόοδος \(2,4,8,16,...\) τότε να βρείτε:

  1. Το άθροισμα \(S_ν\) των \(ν\) πρώτων όρων της \((α_{ν})\).
    (Μονάδες 5)

  2. Την τιμή του \(ν\), ώστε για το άθροισμα \(S_ν\) του γi) ερωτήματος να ισχύει:

$$2\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$

(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Oι αριθμοί \(2\), \(x\), \(8\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν \(2x=8+2\), δηλαδή \(2x=10\) και τελικά \(x=5\). H διαφορά \(ω\) της προόδου είναι \(ω=5-2=3\).

β) Οι αριθμοί \(2\), \(x\), \(8\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \(x^{2}=2\cdot 8\), δηλαδή \(x^{2}=16\) και τελικά \(x=\pm 4\).

Για \(x=-4\), ο λόγος της προόδου είναι \(λ=\dfrac{-4}{2}=-2\), ενώ για \(x=4\) ο λόγος της προόδου είναι \(λ=\dfrac{4}{2}=2\).

γ) Αν \((α_{ν})\) είναι η αριθμητική πρόοδος \(2,5,8,11,...\) και \((β_{ν})\) η γεωμετρική πρόοδος \(2,4,8,16,...\) τότε:

  1. Το άθροισμα \(S_ν\) των \(ν\) πρώτων όρων της \((α_{ν})\) με \(α_{1}=2\) και \(ω=3\), είναι:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (2\cdot 2+(ν-1)\cdot 3)$$ $$=\dfrac{ν}{2}\cdot (1+3ν)$$ $$=\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}$$

  1. Ο 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου \((β_{ν})\) με 1ο όρο \(β_{1}=2\) και λόγο \(λ=2\) είναι:

$$β_{7}=2\cdot 2^{1}=2\cdot 2^{6}=2^{7}=128$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$2\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$

Δηλαδή:

$$2\cdot \left(\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}+24\right)=128$$

Oπότε:

$$3ν^{2}+ν-80=0$$

Το τριώνυμο \(3ν^{2}+ν-80\) έχει διακρίνουσα \(Δ=1^{2}-4\cdot 3\cdot (-80)=961>0\), οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

\(ν_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{961}}{2\cdot 3}=\dfrac{-1-31}{6}=-\dfrac{16}{3}\), που απορρίπτεται γιατί \(ν\in N\).

\(ν_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{961}}{2\cdot 3}=\dfrac{-1+31}{6}=5\).

Τελικά \(ν=5\).