Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3817 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34181 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34181
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ορθογώνιο μήκους \(α\), πλάτους \(β\) και εμβαδού \(Ε\). Οι αριθμοί \(α\) ,\(Ε\), \(β\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

α) Να υπολογίσετε την τιμή του εμβαδού \(Ε\).
(Μονάδες 10)

β) Αν \(Ε=1\) και \(α+β=10\),

  1. να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \(α\) και \(β\).
    (Μονάδες 5)

  2. να βρείτε τις διαστάσεις \(α\) και \(β\) του ορθογωνίου.
    (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις \(α\) και \(β\) είναι:

$$Ε=α\cdot β\ \ \ \ (1)$$

Οι αριθμοί \(α\), \(Ε\), \(β\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \(Ε^{2}=α\cdot β\), οπότε λόγω \((1)\):

$$Ε^{2}=Ε$$

Δηλαδή:

$$Ε^{2}-Ε=0$$

Οπότε:

$$Ε(Ε-1)=0$$

Και επειδή \(Ε\ne 0\):

$$Ε=1$$

β)

  1. Το άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι \(S=α+β=10\) και το γινόμενο των ριζών είναι \(P=αβ=Ε=1\). Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \(α\) και \(β\) είναι η:

$$x^{2}-Sx+P=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+1=0$$

  1. Το τριώνυμο \(x^{2}-10x+1\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=96>0\), οπότε η εξίσωση \(x^{2}-10x+1=0\) έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-10)-\sqrt{96}}{2}$$ $$=\dfrac{10-\sqrt{16\cdot 6}}{2}$$ $$=\dfrac{10-4\sqrt{6}}{2}$$ $$=5-2\sqrt{6}>0$$

$$x_{2}=\dfrac{-(-10)+\sqrt{96}}{2}$$ $$=\dfrac{10+\sqrt{16\cdot 6}}{2}$$ $$=\dfrac{10+4\sqrt{6}}{2}$$ $$=5+2\sqrt{6}>0$$

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(α=5-2\sqrt{6}\) και \(β=5+2\sqrt{6}\).