Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4729 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34184 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34184
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{Α}=90^0\)) με κάθετες πλευρές \(ΑΒ=x\) και \(ΑΓ=y\), έτσι ώστε \(x+y=10\).

α) Να εκφράσετε το εμβαδόν \(Ε\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) ως συνάρτηση του \(x\) και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(Ε(x)\).
(Μονάδες 9)

β) Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι \(Ε(x)=\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\), να δείξετε ότι \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\), για κάθε \(x\in (0,10)\).
(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιμή του \(x\in (0,10)\) ώστε το εμβαδόν \(Ε(x)\) να γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\). Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο \(ΑΒΓ\);
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι \(x+y=10 \Leftrightarrow y=10-x\). Εφόσον \(x\) και \(y\) είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:

$$\begin{cases} x>0 \\ y>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ 10-x>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ x<10 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow 0 < x < 10,\ \ \text{δηλαδή}\ x\in (0,10)$$

Οπότε το εμβαδόν του \(ΑΒΓ\) τριγώνου είναι:
\(Ε=\dfrac{1}{2}\cdot ΑΒ\cdot ΑΓ\), δηλαδή:
\(Ε(x)=\dfrac{1}{2}x(10-x)=\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\), με πεδίο ορισμού το διάστημα \((0,10)\).

β) Έχουμε:

$$Ε(x)\le \dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\le \dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow -x^{2}+10x-25\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}\ge 0,\ \ \text{που ισχύει για κάθε}\ x\in (0,10)$$

γ) Το εμβαδόν \(Ε(x)\) γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:

$$Ε(x)=\dfrac{25}{2}$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow} (x-5)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=5$$

Για \(x=5\), είναι και \(y=10-x=10-5=5\), οπότε \(ΑΒ=ΑΓ=5\) και το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.