Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5492 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34309 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34309
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε τις συναρτήσεις:

$$f(x)=x^{2}+1$$

και

$$g(x)=x+α$$

με \(x\in \mathbb{R}\) και \(α\in \mathbb{R}\).

α) Για \(α=1\), να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\).
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(α\), οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) τέμνονται σε δύο σημεία.
(Μονάδες 10)

γ) Για \(α>1\), να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) είναι ομόσημες ή ετερόσημες.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Για \(α=1\) ο τύπος της συνάρτησης \(g\) γίνεται: \(g(x)=x+1, x\in \mathbb{R}\).

Οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\). Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών τους παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1=x+1 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x-1=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \end{cases}$$

Επίσης:

$$g(0)=0+1=1$$

και

$$g(1)=1+1=2$$

Άρα τα σημεία τομής είναι τα \(Α(0,g(0))\) και \(Β(1,g(1))\) δηλαδή τα \(Α(0,1)\) και \(Β(1,2)\).

β) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) τέμνονται σε δύο σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1=x+α$$

έχει δύο άνισες λύσεις (που θα είναι οι τετμημένες \(x_{1},x_{2}\) των σημείων αυτών).
Δηλαδή αν και μόνο αν η εξίσωση:

$$x^{2}-x+1-α=0\ \ \ \ (1)$$

έχει δύο άνισες ρίζες.

Η διακρίνουσα του τριωνύμου \(x^{2}-x+1-α\) είναι:

$$Δ=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (1-α)=$$ $$=1-4+4α=4α-3$$

Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν:

$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-3>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α>3 $$ $$\Leftrightarrow α>\dfrac{3}{4}$$

γ) Επειδή \(α>1>\dfrac{3}{4}\), η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες, τις \(x_{1},x_{2}\). Το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_{1}x_{2}$$ $$=\dfrac{γ}{α}=1-α$$

Αλλά, \(α>1 \Rightarrow 1-α<0\), δηλαδή \(P<0\). Οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) είναι ετερόσημες.