Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4464 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34312 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Μαρ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34312
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις \(C_{f}\) και \(C_{g}\) των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) αντίστοιχα, με:

$$f(x)=|x-2|$$

και

$$g(x)=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$$

με \(x\in \mathbb{R}\).

α) Με βάση το σχήμα, να εκτιμήσετε την τιμή των συντεταγμένων των σημείων τομής γραφικών παραστάσεων \(C_{f}\) και \(C_{g}\).
(Μονάδες 6)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα α).
(Μονάδες 8)

γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) η \(C_{f}\) βρίσκεται πάνω από τη \(C_{g}\).
(Μονάδες 6)

δ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η παράσταση:

$$K=\sqrt{3|2-x|-(x+2)}$$

(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Παρατηρώντας το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι κατ’ εκτίμηση τα \(Α(1,1)\) και \(Β(4,2)\).

β) Οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(R\). Οι τετμημένες των σημείων τομής τους προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x)$$

δηλαδή της:

$$|x-2|=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\ \ \ \ (1)$$

Για:

$$x-2\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\ge 2$$

είναι:

$$|x-2|=x-2$$

και η \((1)\) γράφεται:

$$x-2=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x-6=x+2 $$ $$\Leftrightarrow 3x-x=6+2 $$ $$\Leftrightarrow 2x=8 $$ $$\Leftrightarrow x=4>2\ \ \text{δεκτή}$$

Για \(x=4\) είναι:

$$f(4)=|4-2|=2$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Β(4,2)\).
Για:

$$x-2<0 $$ $$\Leftrightarrow x<2$$

είναι:

$$|x-2|=2-x$$

και η \((1)\) γράφεται:

$$2-x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 6-3x=x+2 $$ $$\Leftrightarrow -3x-x=2-6 $$ $$\Leftrightarrow -4x=-4 $$ $$\Leftrightarrow x=1 < 2 \ \ \text{δεκτή}$$

Για \(x=1\) είναι:

$$f(1)=|1-2|=|-1|=1$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Α(1,1)\).

γ) Από το διάγραμμα που δίνεται διαπιστώνουμε ότι η \(C_{f}\) βρίσκεται πάνω από τη \(C_{g}\) αν και μόνο αν \(x\in (-\infty ,1)\cup (4,+\infty )\).

δ) Η παράσταση \(Κ\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$3|2-x|-(x+2)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 3|2-x|\ge x+2 $$ $$\Leftrightarrow |x-2|\ge \dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow f(x)\ge g(x)$$

Επομένως αναζητούμε τα διαστήματα στα οποία \(f(x)>g(x)\), δηλαδή αυτά στα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της \(g\), καθώς και τα σημεία στα οποία \(f(x)=g(x)\), δηλαδή τις τετμημένες των σημείων τομής τους. Από τα ερωτήματα β) και γ) βρίσκουμε ότι:

$$f(x)\ge g(x) $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$$