Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4603 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34323 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 23-Μαρ-2024 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34323
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 23-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο:

$$f(x)=x^{2}-x+(λ-λ^{2})\text{ , } λ\in \mathbb{R}$$

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα \(Δ\) του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του \(λ\) το τριώνυμο έχει δύο ίσες ρίζες;
(Μονάδες 6)

γ) Αν \(λ\ne \dfrac{1}{2}\) και \(x_{1}\), \(x_{2}\) οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με \(x_{1}<x_{2}\), τότε:
i. να αποδείξετε ότι \(x_{1} < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} < x_{2}\),
(Μονάδες 4)

ii. να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου και να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:

$$f(x_{2}), f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}),f(x_{2}+1)$$

(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=λ-λ^{2}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-λ^{2})$$ $$=1-4λ+4λ^{2}$$ $$=(1-2λ)^{2}\ge 0$$

Επειδή \(Δ\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

β) Το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες ίσες αν και μόνο αν:

$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=\dfrac{1}{2}$$

γ)
i. Η σχέση \(x_{1}<\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}<x_{2}\) ισοδύναμα γράφεται:

$$(x_{1} < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\ \ \text{και}\ \ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} < x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow (2x_{1} < x_{1}+x_{2}\ \ \text{και}\ \ x_{1}+x_{2} < 2x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$$

που ισχύει από υπόθεση.

iii. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Είναι:

$$f(x_{2})=0, f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})<0\ \ \text{και}\ \ f(x_{2}+1)>0$$

Άρα:

$$f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}) < f(x_{2}) < f(x_{2}+1)$$