Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6518 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34326 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Απρ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34326 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Απρ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω κύκλος κέντρου \(O\) και \(AΓ\) μια διάμετρός του. Θεωρούμε δυο ίσες χορδές \(AΔ\), \(BΓ\) και χορδές \(ΔΓ\), \(AB\) τέτοιες ώστε να είναι κάθετες στις \(AΔ\), \(BΓ\) αντίστοιχα. Έστω \(K\) και \(Λ\) τα μέσα των χορδών \(ΔΓ\) και \(BΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) οι χορδές \(AB\) και \(ΔΓ\) είναι παράλληλες,
(Μονάδες 7)
β) το τετράπλευρο \(ABΓΔ\) είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο,
(Μονάδες 7)
γ) η \(BΔ\) είναι διάμετρος του κύκλου,
(Μονάδες 6)
δ) το τετράπλευρο \(OKΓΛ\) είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Από τα δεδομένα έχουμε ότι οι χορδές \(ΔΓ\), \(AB\) είναι κάθετες στις \(AΔ\), \(BΓ\) αντίστοιχα, οπότε οι γωνίες \(\widehat{AΔΓ}\) και \(\widehat{ABΓ}\) είναι ορθές. Επομένως τα τρίγωνα \(AΔΓ\) και \(ABΓ\) είναι ορθογώνια και έχουν την πλευρά \(AΓ\) κοινή και τις πλευρές \(AΔ\) και \(BΓ\) ίσες (από τα δεδομένα), άρα θα είναι ίσα γιατί έχουν δυο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία, οπότε θα είναι \(\widehat{AΓΔ} = \widehat{Γ AB}\) \((1)\), ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(AΔ\) και \(BΓ\) αντίστοιχα.
Άρα οι \(AB\) και \(ΔΓ\) θα είναι παράλληλες, γιατί τεμνόμενες από την \(AΓ\) σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
β) Επειδή τα τρίγωνα \(AΔΓ\) και \(ABΓ\) είναι ίσα ορθογώνια, θα είναι \(\widehat{Δ AΓ} = \widehat{BΓ A}\), ως συμπληρωματικές γωνίες των ίσων γωνιών \(\widehat{AΓΔ}\) και \(\widehat{Γ AB}\) (σχέση \((1)\)).
Άρα οι \(ΔΓ\) και \(AB\) θα είναι παράλληλες, γιατί τεμνόμενες από την \(AΓ\) σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Επομένως το τετράπλευρο \(ABΓΔ\) θα είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και με γωνία \(\widehat{AΔΓ}\) ορθή, άρα θα είναι και ορθογώνιο.
γ) Τα \(AΓ\) και \(BΔ\) είναι διαγώνιοι του ορθογωνίου \(ABΓΔ\), οπότε θα διχοτομούνται. Επειδή η \(AΓ\) είναι διάμετρος του κύκλου οπότε το κέντρο \(O\) θα είναι το μέσο της και επειδή το μέσο τμήματος είναι μοναδικό, άρα το κέντρο \(O\) θα είναι το μέσο και της \(BΔ\). Επομένως η \(BΔ\) είναι διάμετρος του κύκλου κέντρου \(O\).
δ) Το τρίγωνο \(OΔΓ\) είναι ισοσκελές, αφού \(OΔ = OΓ\) ως ακτίνες του κύκλου (η διάμετρος \(BΔ\) του ορθογωνίου \(ABΓΔ\) διέρχεται από το κέντρο \(O\) του κύκλου) και επειδή το \(K\) είναι το μέσο του \(ΔΓ\) από τα δεδομένα, η \(OK\) θα είναι διάμεσος στη βάση \(ΔΓ\) του ισοσκελούς τριγώνου, οπότε θα είναι και ύψος, δηλαδή το τμήμα \(OK\) είναι κάθετο στο μέσο της χορδής \(ΔΓ\), οπότε \(\widehat{OKΓ} = 90^{\circ}\). Ομοία αποδεικνύεται ότι και το τμήμα \(OΛ\) είναι κάθετο στο μέσο της χορδής \(BΓ\), οπότε \(\widehat{OΛΓ} = 90^{\circ}\). Επειδή το τετράπλευρο \(ABΓΔ\) είναι ορθογώνιο (από β) ερώτημα) θα είναι \(\widehat{BΓΔ} = 90^{\circ}\).
Συνεπώς το τετράπλευρο \(OKΓΛ\) έχει τρεις ορθές γωνίες, άρα θα είναι ορθογώνιο.