ΛΥΣΗ

α) Φέρνουμε την \(OΔ\). Είναι \(OΔ = OA = OΓ\) ως ακτίνες του κύκλου κέντρου \(O\) με διάμετρο την πλευρά \(AΓ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ABΓ\). Οπότε στο τρίγωνο \(AΔΓ\) η \(OΔ\) είναι διάμεσος στην πλευρά του \(AΓ\), αφού το \(O\) ως κέντρο είναι το μέσο, και ισχύει \(OΔ = \dfrac{AΓ}{2}\). Επομένως το τρίγωνο \(AΔΓ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά \(AΓ\) ορθή τη γωνία \(\widehat{AΔΓ}\), άρα οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή \(\widehat{ΓAΔ} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΓAΔ} = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) \((1)\).

Το τρίγωνο \(ABΓ\) είναι ορθογώνιο, άρα οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή \(\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\hat{B} = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) \((2)\).

Από τις \((1)\), \((2)\) προκύπτει: \(\widehat{ΓAΔ} = \hat{B}\).

β) Το τρίγωνο \(OΓΔ\) είναι ισοσκελές διότι \(OΓ = OΔ\) ως ακτίνες του κύκλου, οπότε οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του \(ΓΔ\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(\hat{Γ} = \widehat{OΔΓ}\) \((3)\).

Επειδή η \(ΔM\) είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο \(Δ\), η ακτίνα στο σημείο επαφής θα είναι κάθετη στην εφαπτόμενη (\(OΔ \perp ΔM\)), οπότε \(\widehat{MΔO} = 90^{\circ}\) \((4)\).

Τότε \(\widehat{MΔB} = 180^{\circ} - \widehat{MΔO} - \widehat{OΔΓ} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \hat{Γ}\) λόγω των σχέσεων \((3)\) και \((4)\), δηλαδή τελικά \(\widehat{MΔB} = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) \((5)\).

Από τις σχέσεις \((2)\) και \((5)\) προκύπτει ότι θα είναι \(\widehat{MΔB} = \hat{B}\). Άρα το τρίγωνο \(ΔMB\) είναι ισοσκελές με \(MΔ = MB\) \((3)\).

γ) Επειδή είναι \(\hat{A} = 90^{\circ}\), θα είναι \(MA \perp OA\) και \(OΔ \perp ΔM\), οπότε τα \(MA\) και \(MΔ\) είναι εφαπτόμενα τμήματα, άρα θα είναι ίσα, δηλαδή \(MA = MΔ\) \((4)\).

Από τις \((3)\), \((4)\) βρίσκουμε ότι \(MA = MB\), δηλαδή το \(M\) είναι μέσο του \(AB\).