ΛΥΣΗ

α) Για τα ορθογώνια τρίγωνα \(AΔZ\) και \(ΓΔM\) έχουμε:

• \(AΔ = ΔΓ\), ως πλευρές του τετραγώνου \(ABΓΔ\)
• \(AZ = ΓM\), από τα δεδομένα

Άρα έχουν μία προς μία ίσες τις κάθετες πλευρές τους, οπότε είναι ίσα.

Αν \(\widehat{AΔZ} = \hat{Δ}_1\) και \(\widehat{ΓΔM} = \hat{Δ}_3\), τότε \(\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_3\) διότι βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(AZ\) και \(ΓM\) των ίσων τριγώνων \(AΔZ\) και \(ΓΔM\).

β) Από την υπόθεση έχουμε ότι το τετράπλευρο \(ΔMEZ\) να είναι παραλληλόγραμμο.

Για να είναι το \(ΔMEZ\) τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

Είναι \(\widehat{MΔZ} = \hat{Δ}_2 + \hat{Δ}_3\), όμως \(\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_3\) από α) ερώτημα, οπότε \(\widehat{MΔZ} = \hat{Δ}_2 + \hat{Δ}_1 = \widehat{AΔΓ} = 90^{\circ}\). Συνεπώς το παραλληλόγραμμο \(ΔMEZ\) είναι και ορθογώνιο διότι έχει μία ορθή γωνία.

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα \(AΔZ\) και \(ΓΔM\) είναι ίσα (ερώτημα α), θα έχουν και τις υποτείνουσες αντίστοιχα ίσες, δηλαδή \(ΔZ = ΔM\). Άρα το ορθογώνιο \(ΔMEZ\) είναι και ρόμβος, διότι έχει δύο διαδοχικές πλευρές είναι ίσες. Συνεπώς το \(ΔMEZ\) είναι τετράγωνο.

γ) Από το τετράγωνο \(ABΓΔ\) έχουμε \(\widehat{ABΓ} = 90^{\circ}\) άρα και \(\widehat{MBZ} = 90^{\circ}\) ως παραπληρωματική της.

Από το τετράγωνο \(ΔMEZ\) έχουμε \(\widehat{ZEM} = 90^{\circ}\). Άρα \(\widehat{MBZ} + \widehat{ZEM} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\).

Για τις γωνίες του τετραπλεύρου \(BZEM\) ισχύει ότι:

\(\widehat{BZE} + \widehat{ZEM} + \widehat{EMB} + \widehat{MBZ} = 360^{\circ}\) ή \(\widehat{BZE} + \widehat{EMB} + 180^{\circ} = 360^{\circ}\) ή \(\widehat{BZE} + \widehat{EMB} = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}\)

Άρα οι γωνίες \(\widehat{BZE}\) και \(\widehat{EMB}\) είναι παραπληρωματικές.