Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3571 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34409 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Μαΐ-2023 Ύλη: 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34409
Ύλη: 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(ΑΒ \parallel ΓΔ\) και \(ΑΔ = ΒΓ\)), με \(ΑΒ > ΓΔ\) και \(ΜΝ\) η διάμεσός του.

α) Αν τα μήκη των βάσεων είναι \(ΑΒ = 3x + 2\), \(ΓΔ = x + 2\) και το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου είναι \(ΜΝ = x + 4\), τότε να δείξετε ότι \(x = 2.\)
(Μονάδες 10)

β) Αν η γωνία \(\hat{Γ}\) είναι διπλάσια της γωνίας \(\hat{Β}\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.
(Μονάδες 15)

α) Η \(ΜΝ\) είναι διάμεσος στο ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\), οπότε η \(ΜΝ\) θα ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) του τραπεζίου, δηλαδή

$$ΜΝ = \dfrac{ΑΒ+ΓΔ}{2}, \ \ \ \ (1)$$

Η σχέση \((1)\) με βάση τα δεδομένα γίνεται:

$$x + 4 = \dfrac{3x+2+x+2}{2}$$ $$\Leftrightarrow x + 4 = \dfrac{4x+4}{2}$$ $$\Leftrightarrow x + 4 = 2x + 2$$ $$\Leftrightarrow x = 2$$

β) Για τις γωνίες του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(\hat{Α}+\hat{Β}+\hat{Γ}+\hat{Δ} = 360^ο\).
Αφού το τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες οι προσκείμενες στις βάσεις του \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(\hat{A}= \hat{B}\) και \(\hat{Γ} =\hat{Δ}\).

Οπότε η σχέση του αθροίσματος των γωνιών του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) γίνεται:

$$2\hat{Β}+ 2\hat{Γ} = 360^ο$$ $$\Leftrightarrow \hat{Β}+\hat{Γ} = 180^ο$$

και αφού από την υπόθεση είναι \(\hat{Β}=2\hat{Γ}\) τότε

$$2\hat{Γ} +\hat{Γ} = 180^ο$$ $$\Leftrightarrow 3\hat{Γ} = 180ο$$ $$\Leftrightarrow \hat{Γ} = 60^ο.$$

Όμως είναι \(\hat{Γ} =\hat{Δ}\), άρα θα είναι και \(\hat{Δ}= 60^ο.\)
Αφού από την υπόθεση ισχύει ότι \(\hat{Β} = 2\hat{Γ}\), τότε θα είναι \(\hat{Β} =2\cdot 60^ο = 120^ο.\)

Όμως \(\hat{Α} =\hat{Β}\), οπότε θα είναι \(\hat{Α} =120^ο.\)