ΛΥΣΗ

Έστω τυχαία γωνία \(x\hat{O}y\), δυο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το \(Ο\) και \(Α\),\(Γ\) και \(Β\),\(Δ\) τα σημεία στα οποία τέμνουν τις πλευρές \(Οx\) και \(Οy\) αντίστοιχα.

Το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ισοσκελές διότι \(ΟΑ = ΟΒ\) ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Άρα \(\hat{Α}_1 = \hat{Β}_1\) \((1)\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΟΑΒ\) ισχύει ότι:

\begin{align} \hat{Ο} + \hat{Α}_1 + \hat{Β}_1 &= 180° \\ \hat{Α}_1 + \hat{Β}_1 &= 180°-\hat{Ο} \quad\text{και επειδή } \hat{Α}_1 = \hat{Β}_1 \text{ από την (1)} \\ 2\hat{Β}_1 &= 180° - \hat{Ο} \\ \hat{Β}_1 &= \frac{180°-\hat{Ο}}{2} \quad (2) \end{align}

Το τρίγωνο \(ΟΓΔ\) είναι ισοσκελές διότι \(ΟΓ = ΟΔ\), ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Άρα \(\hat{Γ}_1 = \hat{Δ}_1\) \((3)\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΟΓΔ\) ισχύει ότι:

\begin{align} \hat{Ο} + \hat{Γ}_1 + \hat{Δ}_1 &= 180° \\ \hat{Γ}_1 + \hat{Δ}_1 &= 180°-\hat{Ο} \quad\text{και επειδή } \hat{Γ}_1 = \hat{Δ}_1 \text{ από την (3)} \\ 2\hat{Δ}_1 &= 180° - \hat{Ο} \\ \hat{Δ}_1 &= \frac{180°-\hat{Ο}}{2} \quad (4) \end{align}

Από τις σχέσεις \((2)\) και \((4)\) προκύπτει ότι \(\hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1\).

Όμως, οι γωνίες \(\hat{Β}_1\) και \(\hat{Δ}_1\) βρίσκονται εκτός, εντός των ευθειών \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) και προς το ίδιο μέρος με την τέμνουσα Οx των ευθειών. Οπότε οι ευθείες \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) θα είναι παράλληλες γιατί τεμνόμενες από την Οx σχηματίζουν δυο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. Άρα και οι χορδές \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) θα είναι παράλληλες ως τμήματα παράλληλων ευθειών.