Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6774 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34504 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34504 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Έστω ότι τα τμήματα \(ΑΖ\) και \(ΑΕ\) είναι κάθετα στις πλευρές \(ΔΓ\) και \(ΓΒ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Αν το παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) είναι ρόμβος, τότε \(ΑΖ=ΑΕ\). (Μονάδες 12)
β) Αν για το παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(ΑΖ=ΑΕ\), τότε αυτό είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Επειδή τα τμήματα \(ΑΖ\) και \(ΑΕ\) είναι κάθετα στις πλευρές \(ΔΓ\) και \(ΓΒ\) αντίστοιχα, οι γωνίες \(Α\widehat{Ζ}Δ\) και \(Α\widehat{Ε}Β\) είναι ορθές.
α) Έστω ότι το \(ΑΒΓΔ\) είναι ρόμβος. Τότε τα τρίγωνα \(ΑΖΔ\) και \(ΑΕΒ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
- \(ΑΔ = ΑΒ\), ως πλευρές του ρόμβου
- \(\widehat{Δ} = \widehat{Β}\), ως απέναντι γωνίες του ρόμβου
Οπότε έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν ίσες και τις πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Δ}\), και \(\widehat{Β}\) αντίστοιχα, δηλαδή \(ΑΖ = ΑΕ\).
β) Έστω ότι στο παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(ΑΖ = ΑΕ\).
Τα τρίγωνα \(ΑΖΔ\) και \(ΑΕΒ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
- \(ΑΖ = ΑΕ\) από υπόθεση
- \(\widehat{Δ} = \widehat{Β}\), ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου
Επειδή τα τρίγωνα έχουν μία κάθετη πλευρά και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, θα είναι ίσα. Οπότε θα έχουν και τις υποτείνουσες ίσες, δηλαδή \(ΑΔ = ΑΒ\).
Επειδή στο παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες, είναι ρόμβος.