Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6202 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34544 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Οκτ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34544
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:

$$x^{2}-2λx+4(λ-1)=0\ \ \ \ (1)$$

με άγνωστο το \(x\) και παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης \((1)\) είναι η \(Δ=(2λ-4)^{2}\).
(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \((1)\) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(λ\).
(Μονάδες 9)

γ) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \(λ\) ο αριθμός \(x=2\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\).
(Μονάδες 9)

α) Είναι: \(α = 1\), \(β = – 2λ\) και \(γ = 4(λ – 1)\).
Τότε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2λ)^{2}-4\cdot 1\cdot 4(λ-1)$$ $$=4λ^{2}-16λ+16$$ $$=(2λ-4)^{2}$$

β) Επειδή \(Δ=(2λ–4)^{2}\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) η εξίσωση δεν είναι αδύνατη στο \(\mathbb{R}\).

Συγκεκριμένα ισχύουν τα παρακάτω:

  • Αν:

    $$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (2λ–4)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ–4=0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ=4 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{2λ}{2}=\dfrac{4}{2} $$ $$\Leftrightarrow λ= 2$$

    τότε η εξίσωση \((1)\) έχει μια διπλή λύση.

  • Αν:

    $$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow (2λ–4)^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ–4\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 2$$

    τότε η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες.

γ) Ο αριθμός \(x=2\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((1)\) άρα την επαληθεύει.

Έτσι έχουμε:

$$2^{2}-2λ\cdot 2+4(λ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4-4λ+4λ-4=0 $$ $$\Leftrightarrow 0λ=0,\ \ \text{ταυτότητα}$$

Τελικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \(λ\) ο αριθμός \(x=2\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\).