Λύση

α) Το τριώνυμο \(x^{2}−2βx+β^{2}−4\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=(−2β)^{2}−4\cdot 1\cdot (β^{2}−4)$$ $$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{−β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{2β\pm 4}{2}$$

οπότε έχουμε:

$$x_{1}=β+2\ \ \text{,}\ \ x_{2}=β−2$$

Σημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η \(x_{1}=β+2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$

Ομοίως η \(x_{2}=β−2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$

Συνεπώς, η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις \(x_{1}\), \(x_{2}\), με \(x_{1}\ne x_{2}\).

β) Οι αριθμοί \(β-2\), \(β\), \(β+2\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: \(β-(β-2) = 2\) και \((β+2) – β = 2\), δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: \(ω = 2\).