Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4717 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34746 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34746
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:

$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4) = 0\ \ \ \ (1)$$

με παράμετρο \(β\in \mathbb{R}\).

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις: \(x_{1}=β−2\) και \(x_{2}=β+2\).

(Μονάδες 12)

β) Αν \(x_{1}\), \(x_{2}\) είναι οι ρίζες της \((1)\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \(x_{1}\), \(β\), \(x_{2}\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.
(Μονάδες 13)

Λύση

α) Το τριώνυμο \(x^{2}−2βx+β^{2}−4\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(−2β)^{2}−4\cdot 1\cdot (β^{2}−4)$$ $$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{2β\pm 4}{2}$$

οπότε έχουμε:

$$x_{1}=β+2\ \ \text{,}\ \ x_{2}=β−2$$

Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η \(x_{1}=β+2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$

Ομοίως η \(x_{2}=β−2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$

Συνεπώς, η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις \(x_{1}\), \(x_{2}\), με \(x_{1}\ne x_{2}\).

β) Οι αριθμοί \(β-2\), \(β\), \(β+2\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: \(β-(β-2) = 2\) και \((β+2) – β = 2\), δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: \(ω = 2\).