Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5303 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 34746 | Θέμα: | 2 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαρ-2024 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 2 | ||
Κωδικός Θέματος: | 34746 | ||
Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση:
$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4) = 0\ \ \ \ (1)$$
με παράμετρο \(β\in \mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις: \(x_{1}=β−2\) και \(x_{2}=β+2\).
(Μονάδες 12)
β) Αν \(x_{1}\), \(x_{2}\) είναι οι ρίζες της \((1)\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \(x_{1}\), \(β\), \(x_{2}\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.
(Μονάδες 13)
Λύση
α) Το τριώνυμο \(x^{2}−2βx+β^{2}−4\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=(−2β)^{2}−4\cdot 1\cdot (β^{2}−4)$$ $$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$
Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{2β\pm 4}{2}$$
οπότε έχουμε:
$$x_{1}=β+2\ \ \text{,}\ \ x_{2}=β−2$$
Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η \(x_{1}=β+2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:
$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$
Ομοίως η \(x_{2}=β−2\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:
$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$
Συνεπώς, η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις \(x_{1}\), \(x_{2}\), με \(x_{1}\ne x_{2}\).
β) Οι αριθμοί \(β-2\), \(β\), \(β+2\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: \(β-(β-2) = 2\) και \((β+2) – β = 2\), δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: \(ω = 2\).