ΛΥΣΗ

α) Είναι $\widehat{{\rm B}}$ = $\hat{\Gamma }$ επειδή ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ ισοσκελές τρίγωνο με βάση ${\rm B}\Gamma$, τότε:

$$\widehat{{\rm A}{\rm B}\Delta }={180}^0–\widehat{{\rm B}}={180}^0–\hat{\Gamma }=\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm E}}$$

β) Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma {\rm E}$ έχουν:

• ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma$, από την υπόθεση
• ${\rm B}\Delta =\Gamma {\rm E}$, από την υπόθεση
• $\widehat{{\rm A}{\rm B}\Delta }=\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm E}}$, από το α) ερώτημα

Οπότε τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma {\rm E}$ είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες ($\Pi \Gamma \Pi$).

γ) Αφού από την υπόθεση έχουμε ότι η ${\rm A}{\rm M}$ είναι διάμεσος του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, τότε το ${\rm M}$ είναι μέσο της ${\rm B}\Gamma$ και θα ισχύει ${\rm B}{\rm M}={\rm M}\Gamma (1)$. Επίσης είναι ${\rm B}\Delta =\Gamma {\rm E}(2)$ από την υπόθεση.

Οπότε προσθέτοντας τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ κατά μέλη θα έχουμε:

$${\rm B}{\rm M}+{\rm B}\Delta ={\rm M}\Gamma +\Gamma {\rm E}$$ $$\Rightarrow \Delta {\rm M}={\rm M}{\rm E}$$

Επομένως το ${\rm M}$ είναι μέσο του $\Delta {\rm E}$, δηλαδή η ${\rm A}{\rm M}$ είναι διάμεσος του ${\rm A}\Delta {\rm E}$.