Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5241 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34778 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Ιουν-2024 | Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34778 | ||
| Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Ιουν-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 34778
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\). Έστω \(Αx\) η διχοτόμος της εξωτερικής του γωνίας \(\widehat{Α}_{εξ}\), όπου \(\widehat{Α}_{εξ} = 120^{\circ}\). Από την κορυφή \(Β\) φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην \(Αx\), η οποία τέμνει την πλευρά \(ΑΓ\) στο σημείο \(Δ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. \(\widehat{ΔΒΑ} = 60^{\circ}\), (Μονάδες 9)
ii. το τρίγωνο \(ΑΒΔ\) είναι ισόπλευρο, (Μονάδες 9)
β) Αν η γωνία \(\widehat{ΒΔΑ}\) είναι διπλάσια της γωνίας \(\widehat{Γ}\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΒΔΓ\). (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α)
i. Επειδή η \(Αx\) είναι η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας \(\widehat{Α}_{εξ}\) του τριγώνου θα ισχύει ότι \(\widehat{xΑy} = \widehat{xΑΒ}\) και αφού \(\widehat{Α}_{εξ} = 120^{\circ}\), τότε \(\widehat{xΑy} = \widehat{xΑΒ} = \dfrac{\widehat{Α}_{εξ}}{2} = 60^{\circ}\) \((1)\).
Όμως είναι \(\widehat{xΑΒ} = \widehat{ΔΒΑ}\) ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(Αx\) και \(ΒΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\), οπότε λόγω της σχέσης \((1)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΔΒΑ} = 60^{\circ}\).
ii. Είναι \(\widehat{ΒΔΑ} = \widehat{xΑy}\) ως γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(Αx\) και \(ΒΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΔ\), οπότε λόγω της σχέσης \((1)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΒΔΑ} = 60^{\circ}\).
Επειδή στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) δύο γωνίες του είναι ίσες με \(60^{\circ}\), τις \(\widehat{ΔΒΑ}\) και \(\widehat{ΒΔΑ}\) και γνωρίζοντας ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με \(180^{\circ}\), προκύπτει ότι και η τρίτη του γωνία, η \(\widehat{ΒΑΔ}\), θα είναι ίση με \(60^{\circ}\), οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
β) Είναι \(\widehat{ΒΔΑ} = 60^{\circ}\) και \(\widehat{ΒΔΑ} = 2\widehat{Γ}\) από την υπόθεση, άρα \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\).
Επίσης είναι \(\widehat{ΒΔΓ} = 180^{\circ} - \widehat{ΒΔΑ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΒΔΓ\), έχουμε:
$$\widehat{ΔΒΓ} + \widehat{Γ} + \widehat{ΒΔΓ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΔΒΓ} + 30^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΔΒΓ} = 30^{\circ}$$
