ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ=ΑΓ\), γωνία κορυφής \(\widehat{Α} = 40^{\circ}\) και τμήμα \(ΒΔ\) στην προέκταση της \(ΓΒ\) προς το \(Β\) τέτοιο ώστε \(ΒΔ = ΑΒ\).

α) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ = ΑΓ\), ισχύει ότι \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του \(ΒΓ\).

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) έχουμε:

$$\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 40^{\circ} + 2\widehat{Β} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 2\widehat{Β} = 140^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Β} = 70^{\circ}$$

Οπότε και \(\widehat{Γ} = 70^{\circ}\).

β) Φέρνουμε το τμήμα \(ΑΔ\).

Επειδή είναι \(ΒΔ = ΑΒ\) από την υπόθεση, το τρίγωνο \(ΑΒΔ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΔ\), άρα ισχύει \(\widehat{Δ} = \widehat{Α}_1\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του.

Η γωνία \(\widehat{Β}\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι εξωτερική γωνία στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\), οπότε ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, δηλαδή \(\widehat{Β} = \widehat{Δ} + \widehat{Α}_1\) ή \(70^{\circ} = 2\widehat{Δ}\) ή \(\widehat{Δ} = 35^{\circ}\), οπότε και \(\widehat{Α}_1 = 35^{\circ}\).

Ισχύει ότι \(\widehat{ΔΑΓ} = \widehat{Α} + \widehat{Α}_1\), άρα \(\widehat{ΔΑΓ} = 40^{\circ} + 35^{\circ} = 75^{\circ}\).