Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4137 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34910 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 34910
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 3

α) Να λύσετε την ανίσωση \(x^{2}-4x+3<0\ \ \ \ (1)\).
(Μονάδες 13)

β) Αν η \((1)\) έχει λύσεις τους αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει \(1<x<3\) και οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι λύσεις της ανίσωσης \((1)\), να δείξετε ότι και ο αριθμός \(\dfrac{α+β}{2}\) είναι επίσης λύση της ανίσωσης \((1)\).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-4x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3$$ $$=16-12=4$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{4\pm 2}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{4+2}{2}=3 \\ \dfrac{4-2}{2}=1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-4x+3 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 1 < x < 3 $$

β) Για να είναι ο \(\dfrac{α+β}{2}\) λύση της ανίσωσης \((1)\) αρκεί να δείξουμε \(1<\dfrac{α+β}{2}<3\).

Έχουμε ότι:

$$\left. \array { 1<α<3 \cr 1<β<3 } \right\} \overset{(+)}{\Rightarrow} 2<α+β<6 $$ $$\overset{(:2)}{\Rightarrow} 1<\dfrac{α+β}{2}<3$$