Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5118 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34919 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34919
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Να λύσετε την ανίσωση:

$$x^{2}-10x+21<0$$

(Μονάδες 13)

β) Αν \(3 < x < 7\), να δείξετε ότι η παράσταση

$$Α=|x^2-10x+21|+x^2-10x+22$$

είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \(x\).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-10x+21\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 21$$ $$=100-84=16$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{10\pm 4}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{10+4}{2}=7 \\ \dfrac{10-4}{2}=3 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-10x+21 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 3 < x < 7$$

β) Για \(3 < x < 7\), από το (α) ερώτημα έχουμε ότι: \(x^2-10x+21 < 0\).

Οπότε:

$$Α=|x^2-10x+21|+x^2-10x+22=$$ $$=-(x^2-10x+21)+x^2-10x+22=1$$

Δηλαδή, η παράσταση \(Α\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \(x\).