ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-10x+21\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{10\pm 4}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{10+4}{2}=7 \\ \dfrac{10-4}{2}=3 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-10x+21 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 3 < x < 7$$

β) Αφού ο \(x\) είναι λύση της ανίσωσης \((1)\) ισχύει:

$$3 < x \Leftrightarrow 0 < x-3$$

άρα:

$$|x-3|=x-3$$

και:

$$x<7 \Leftrightarrow x-7<0$$

άρα:

$$|x-7|=7-x$$

Οπότε:

$$Α=|x-3|+|x-7|$$ $$=x-3+7-x=4$$

Δηλαδή, η παράσταση \(Α\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \(x\).