Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 1301 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34920 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34920
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Μαΐ-2023
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται το τριώνυμο:

$$2x^{2}+x-1\ \ \ \ (1)$$

α) Αν \(x_{1}\), \(x_{2}\) είναι ρίζες του τριωνύμου \((1)\), να βρείτε την τιμή των παραστάσεων \(x_{1}+x_{2}\), \(x_{1}x_{2}\) και \(\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\).
(Μονάδες 13)

β) Αν \(\dfrac{1}{x_{1}}=-1\) και \(\dfrac{1}{x_{2}}=2\), να βρείτε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις \(\dfrac{1}{x_{1}}\) και \(\dfrac{1}{x_{2}}\).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(2x^{2}+x-1\) έχει \(α=2\), \(β=1\) και \(γ=-1\). Οπότε το άθροισμα των ριζών του είναι:

$$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{1}{2}$$

και το γινόμενό τους:

$$x_{1}x_{2}=\dfrac{γ}{α}=-\dfrac{1}{2}$$

Επίσης, έχουμε ότι:

$$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\dfrac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}$$ $$=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=1$$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(\dfrac{1}{x_{1}}=-1\) και \(\dfrac{1}{x_{2}}=2\), είναι η \(x^{2}-Sx+P=0\), με \(S=-1+2=1\) και \(P=(-1)\cdot 2=-2\).

Άρα, μια εξίσωση είναι η: \(x^{2}-x-2=0\).