Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3728 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35038 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 35038
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Έστω \(α\), \(β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

$$α\cdot β=4\ \ \text{και}\ \ α^{2}β+αβ^{2}=20$$

α) Να αποδείξετε ότι: \(α+β=5\).
(Μονάδες 10)

Β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) και να τους βρείτε.
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$α^{2}β+αβ^{2}=20 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow 4(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow α+β=5$$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^{2}-Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=5\ \ \text{και}\ \ P=α\cdot β=4$$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}-5x+4=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+4\) έχει \(α=1\), \(β=-5\), \(γ=4\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{5\pm 3}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{5+3}{2}=4 \\ \dfrac{5-3}{2}=1 \end{cases}$$