Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3054 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35143 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 35143
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \((α_{ν})\) με όρους \(α_{2}=0\), \(α_{4}=4\).

α) Να αποδείξετε ότι \(ω=2\) και \(α_{1}=-2\), όπου \(ω\) είναι η διαφορά της προόδου και \(α_{1}\) ο πρώτος όρος της.
(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της προόδου είναι ίσος με \(α_{ν}=2ν-4\), \(ν\in \mathbb{N}^{*}\) και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με \(98\).
(Μονάδες 15)

α) Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:

$$α_{2}=0$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(2-1)ω=0$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+ω=0 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}=-ω,\ (1)$$

και

$$α_{4}=4$$ $$\Leftrightarrow α_{4}+(4-1)ω=4$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+3ω=4$$ $$\overset{(1)}{\Leftrightarrow} -ω+3ω=4 $$ $$\Leftrightarrow 2ω=4$$ $$\Leftrightarrow ω=2$$

Αντικαθιστούμε στην σχέση \((1)\) και βρίσκουμε:

$$α_{1}=-2$$

β) Ο ν-οστός όρος της αριθμητικής προόδου είναι:

$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$ $$\Leftrightarrow α_{ν}=-2+(ν-1)\cdot 2$$ $$\Leftrightarrow α_{ν}=2ν-4$$

Ισχύει επίσης ότι:

$$α_{ν}=98$$ $$\Leftrightarrow 2ν-4=98$$ $$\Leftrightarrow 2ν=102 $$ $$\Leftrightarrow ν=51$$

Άρα ο 51ος όρος της προόδου είναι ίσος με \(98\).