Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5488 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35385 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35385
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=x^{2}+β\), \(g(x)=x+β\), όπου \(x\in \mathbb{R}\) και \(β\) σταθερός πραγματικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \(g(x)\) διέρχεται από το σημείο \(Μ\left(\dfrac{3β}{2}, -3-\dfrac{β}{2}\right)\).

α) Να αποδείξτε ότι \(β=-1\).
(Μονάδες 6)

β) Για \(β=-1\):

(i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f(x)\) με τους άξονες \(x'x\), \(y'y\).
(Μονάδες 5)

(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της \(f(x)\) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g(x)\).
(Μονάδες 7)

(iii) Να λύσετε την εξίσωση: \(\dfrac{f(x)}{g(x)}+\dfrac{g(x)}{f(x)}=3\).
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του σημείου \(Μ\) θα πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση \(y=g(x)\), άρα θα ισχύει:

$$g(\dfrac{3β}{2})=-3-\dfrac{β}{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{3β}{2}+β=-3-\dfrac{β}{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{3β}{2}+\dfrac{β}{2}+β=-3$$ $$\Rightarrow 3β=-3$$ $$\Rightarrow β=-1$$

β) Για \(β=-1\):

(i) Είναι \(f(x)=x^{2}-1\). Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(x'x\), έχουν τεταγμένη μηδέν, οπότε οι τετμημένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης \(y=f(x)=0\), άρα \(x^{2}-1=0\) οπότε \(x^{2}=1\). Τελικά \(x=1,x=-1\).

Άρα τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) είναι τα \(Α(1, 0)\) και \(Β(-1, 0)\).

Επίσης \(f(0)=0^{2}-1=-1\), άρα το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) είναι το \(Γ(0, -1)\).

(ii) Θέλουμε να ισχύει \(f(x)<g(x)\) δηλαδή \(x^{2}-1<x-1\) άρα \(x^{2}-x<0\) ή \(x(x-1)<0\). Είναι φανερό ότι το πολυώνυμο \(x^{2}-x=x(x-1)\) έχει ως ρίζες τους αριθμούς μηδέν και \(1\), αφού για αυτές τις τιμές μηδενίζεται.

Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμου, παρατηρώντας ότι ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(α=1>0\).

Διαπιστώνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του \(x\) μεταξύ \(0\) και \(1\), δηλαδή \(0<x<1\).

(iii) Η εξίσωση γράφεται:

$$\dfrac{x^{2}-1}{x-1}+\dfrac{x-1}{x^{2}-1}=3$$

Πρέπει \(x-1\ne 0\) και \(x^{2}-1\ne 0\).

Έτσι, για \(x\ne 1\) και \(x\ne -1\), η εξίσωση γράφεται:

$$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=3$$

άρα:

$$x+1+\dfrac{1}{x+1}=3 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}+1=3(x+1) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1+1=3x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$$

άρα:

$$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{5}}{2}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{cases}$$