Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3332 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35409 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35409
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο \(x^{2}-λx+1\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \(Δ=λ^{2}-4\).
(Μονάδες 05)

β) Θεωρούμε τις συναρτήσεις \(f\), \(g\) που είναι ορισμένες στο \(\mathbb{R}\) με: \(f(x)=λx-λ+2\) και \(g(x)=x^{2}-λ+3\), \(λ\in \mathbb{R}\).

  1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση από την οποία μπορούμε να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \(f\) και \(g\) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \(x^{2}-λx+1=0\).
    (Μονάδες 05)

  2. Στο καθένα από τα επόμενα σχήματα δίνεται οι γραφικές παραστάσεις των δυο συναρτήσεων για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου \(λ\).
    Με δεδομένο ότι \(λ\in {1,2,4}\), να βρείτε την τιμή της παραμέτρου \(λ\) σε καθένα από τα σχήματα, δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-λx+1\) έχει: \(α=1\), \(β=-λ\), \(γ=1\).

Έχουμε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-λ)^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$ $$=λ^{2}-4,\ λ\in \mathbb{R}$$

β)

  1. Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των \(C_{f}\), \(C_{g}\) πρέπει και αρκεί να λύσουμε την εξίσωση \(g(x)=f(x)\).

    Έχουμε διαδοχικά:

    $$g(x)=f(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λ+3=λx-λ+2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λx+1=0$$

  2. Για \(λ=1\) έχουμε: \(Δ=1^{2}-4=-3 < 0\).
    Για \(λ=2\) έχουμε: \(Δ=2^{2}-4=0\).
    Για \(λ=4\) έχουμε: \(Δ=4^{2}-4=12 > 0\).

    Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης για κάθε \(x\in \mathbb{R}\), επομένως ισχύει:

    $$g(x)>f(x)\ \ \ \ (1)$$

    για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

    Έχουμε:

    $$(1) \Leftrightarrow x^{2}-λ+3>λx-λ+2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λx+1>0$$

    για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο \(x^{2}-λx+1\) έχει σταθερό πρόσημο όταν \(Δ < 0\) επομένως η τιμή του \(λ\) που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι \(λ=1\).

    Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, επομένως η εξίσωση \(g(x)=f(x)\ \ (2)\) έχει μία διπλή ρίζα.
    Έχουμε:

    $$(2) \Leftrightarrow x^{2}-λ+3=λx-λ+2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λx+1=0$$

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο \(x^{2}-λx+1\) έχει μία διπλή ρίζα όταν \(Δ=0\) επομένως η τιμή του \(λ\) που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι \(λ=2\).

    Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία, επομένως η εξίσωση \(g(x)=f(x)\ \ (3)\) έχει δύο άνισες λύσεις.

    Όπως και στην δεύτερη περίπτωση η εξίσωση \((3)\) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \(x^{2}-λx+1=0\).

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο \(x^{2}-λx+1\) έχει δύο άνισες λύσεις όταν \(Δ>0\) επομένως η τιμή του \(λ\) που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι \(λ=4\).