Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3759 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35410 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35410
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο: \(x^{2}-2λx+4λ+5\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \(Δ=4λ^{2}-16λ-20\).
(Μονάδες 05)

β) Θεωρούμε την συνάρτηση \(f\), που είναι ορισμένη στο \(λ\in \mathbb{R}\) με τύπο:

$$f(x)=x^{2}-2λx+4λ+5$$

Στο καθένα από τα επόμενα σχήματα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου \(λ\).

  1. Για τα δύο πρώτα σχήματα δίνεται ότι η παράμετρος \(λ\in \{-2,4\}\). Να βρείτε σε ποια τιμή του \(λ\) αντιστοιχεί το καθένα από τα σχήματα αυτά, δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 10)

  2. Για το σχήμα \(3\) να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η παράμετρος \(λ\in \mathbb{R}\), δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-2λx+4λ+5\) έχει: \(α=1\), \(β=-2λ\), \(γ=4λ+5\).

Έχουμε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2λ)^{2}-4\cdot 1\cdot (4λ+5)$$ $$=4λ^{2}-16λ-20,\ λ\in \mathbb{R}$$

β)

  1. Για \(λ=-2\), έχουμε \(Δ=4(-2)^{2}-16(-2)-20=28>0\).

    Για \(λ=4\), έχουμε \(Δ=4\cdot 4^{2}-16\cdot 4-20=-20 < 0\).

    Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\) για κάθε \(x\in \mathbb{R}\), επομένως ισχύει \(x^{2}-2λx+4λ+5>0\) για κάθε \(x\in \mathbb{R}\). Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει σταθερό πρόσημο όταν \(Δ < 0\), επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή \(λ=4\).

    Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) σε δύο σημεία επομένως η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) έχει δύο άνισες λύσεις. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει δύο άνισες λύσεις όταν \(Δ>0\), επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή \(λ=-2\).

  2. Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) έχει με τον άξονα \(x'x\) ένα ακριβώς κοινό σημείο επομένως η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) έχει μία διπλή ρίζα. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα όταν \(Δ=0\).

    Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα είναι ένα τριώνυμο του \(λ\) με \(α=4\), \(β=-16\), \(γ=-20\) και διακρίνουσα:

    $$Δ'=(-16)^{2}-4\cdot 4\cdot (-20)$$ $$=256+320=576$$

    Επομένως η διακρίνουσα \(Δ\) έχει ρίζες: \(λ_{1}=\dfrac{16-24}{8}=-1\) και \(λ_{2}=\dfrac{16+24}{8}=5\).

    Συμπεραίνουμε ότι οι δυνατές τιμές του \(λ\) είναι \(λ=-1\) ή \(λ=5\).