Θέμα: 35415

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 1313 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	35415	Θέμα:	2
Τελευταία Ενημέρωση:	18-Μαΐ-2023	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35415
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023

Δίνεται η παράσταση:

$$Α=|x-1|-|x-2|$$

α) Για $1 < x < 2$, να δείξετε ότι: $Α=2x-3$.
(Μονάδες 13)

β) Για $x<1$, να δείξετε ότι η παράσταση $Α$ έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του $x$), την οποία και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 12)

α) Ισχύει ότι:

$$ 1 < x < 2 $$ $$\Leftrightarrow (1 < x\ \ \text{και}\ \ x < 2) $$ $$\Leftrightarrow (0 < x-1\ \ \text{και}\ \ x-2 < 0)$$

Τότε:

$$|x-1|=x-1$$

και:

$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$

Άρα:

$$Α=|x-1|-|x-2|$$ $$=x-1-(2-x)$$ $$=x-1-2+x=2x-3$$

β) Για $x<1$ είναι:

$$|x-1|=-(x-1)=1-x$$

και:

$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$

Επομένως:

$$Α=|x-1|-|x-2|$$ $$=1-x-(2-x)$$ $$=1-x-2+x=-1\ \text{, σταθερή}$$