Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4769 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35724 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35724
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Για μια επαγγελματική κάρτα επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς \(x\ cm\) \((5\le x\le 10)\) στο οποίο η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων (με κίτρινο χρώμα στο παρακάτω σχήμα) περιβάλλεται από περιθώρια \(2\ cm\) στο πάνω και στο κάτω μέρος της και \(1\ cm\) δεξιά και αριστερά.

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν \(Ε\) της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$$Ε(x)=(x-2)(x-4),\ 5\le x\le 10$$

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε την τιμή του \(x\), ώστε το εμβαδόν \(Ε\) της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι \(35\ cm^{2}\).
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά \(x\) του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\).
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι ορθογώνιο με διαστάσεις:

$$x-(1+1)=x-2$$

και

$$x-(2+2)=x-4$$

Επομένως το εμβαδόν της \(Ε\) εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$$Ε(x)=(x-2)(x-4),\ 5\le x\le 10$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$Ε(x)=35$$ $$\Rightarrow (x-2)(x-4)=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x+8=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x-27=0\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-27\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-27)=144>0$$

και συνεπώς η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-12}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+12}{2}=\dfrac{18}{2}=9$$

Επειδή \(5\le x\le 10\), δεκτή είναι η λύση \(x=9\).

Άρα σε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς \(9\ cm\), η περιοχή εκτύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν \(35\ cm^{2}\).

γ) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\), δηλαδή \(Ε(x)\ge 24\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$(x-2)(x-4)\ge 24,\ \text{οπότε}$$ $$x^{2}-6x-16\ge 0\ \ \ \ (2)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-16\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-16)=100>0\) και ρίζες:

$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-10}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+10}{2}=\dfrac{16}{2}=8$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα η \((2)\) αληθεύει για \(x\le -2\) ή \(x\ge 8\). Επίσης \(5\le x\le 10\), οπότε με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών

παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: \(8\le x\le 10\).

Άρα για \(x\in [8,10]\), η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\).