ΛΥΣΗ

α)

i. Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) βρίσκουμε:

$$\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 40^{\circ} + 70^{\circ} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 110^{\circ} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Γ} = 70^{\circ}$$

Άρα \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) οπότε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με βάση τη \(ΒΓ\), οπότε έχει ίσες πλευρές τις \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\).

ii. Επειδή τα \(Δ\), \(Ε\) είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), ισχύει ότι το ευθύγραμμο τμήμα \(ΔΕ\) είναι ίσο με το μισό της \(ΒΓ\), δηλαδή:

$$ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; 9 = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; ΒΓ = 18$$

β) Αφού \(Ε\) μέσο της \(ΑΓ\), τότε \(ΕΓ = \dfrac{ΑΓ}{2}\) με \(ΕΓ = 16\), οπότε \(\dfrac{ΑΓ}{2} = 16\) ή \(ΑΓ = 32\) άρα και \(ΑΒ = 32\), αφού το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές (από το αi) ερώτημα).

Τότε η περίμετρος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι:

$$Π = ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ = 32 + 18 + 32 = 82$$