Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5945 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36090 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 22-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36090 | ||
| Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 36090
Στις πλευρές \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) θεωρούμε σημεία \(Ε\) και \(Ζ\), τέτοια ώστε \(ΑΕ = ΓΖ\). Αν η ευθεία \(ΖΕ\) τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) στα σημεία \(Η\) και \(Θ\), να αποδείξετε ότι:
α) \(\widehat{ΗΒΖ} = \widehat{ΕΔΘ}\), (Μονάδες 8)
β) \(\widehat{ΒΖΗ} = \widehat{ΔΕΘ}\), (Μονάδες 8)
γ) \(ΒΗ = ΘΔ\). (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(\widehat{ΑΒΓ} = \widehat{ΑΔΓ}\), ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\).
Οπότε \(\widehat{ΗΒΖ} = 180^{\circ} - \widehat{ΑΒΓ} = 180^{\circ} - \widehat{ΑΔΓ} = \widehat{ΕΔΘ}\).
β) Είναι \(\widehat{ΓΖΕ} = \widehat{ΑÊΖ}\) \((1)\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΕΖ\).
Επίσης \(\widehat{ΒΖΗ} = \widehat{ΓΖΕ}\) \((2)\) ως κατακορυφήν και \(\widehat{ΔÊΘ} = \widehat{ΑÊΖ}\) \((3)\) ως κατακορυφήν.
Από τις \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΒΖΗ} = \widehat{ΔÊΘ}\).
γ) Είναι \(ΑΔ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου και \(ΑΕ = ΓΖ\) από την υπόθεση.
Επομένως \(ΔΕ = ΑΔ - ΑΕ = ΒΓ - ΓΖ = ΒΖ\) \((4)\).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΔΕΘ\) και \(ΒΖΗ\), τα οποία έχουν:
- \(ΔΕ = ΒΖ\), από σχέση \((4)\)
- \(\widehat{ΗΒΖ} = \widehat{ΕΔΘ}\), από το ερώτημα (α)
- \(\widehat{ΒΖΗ} = \widehat{ΔÊΘ}\), από το ερώτημα (β)
Οπότε τα τρίγωνα \(ΔΕΘ\) και \(ΒΖΗ\) έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ), άρα είναι ίσα, οπότε είναι και \(ΒΗ = ΘΔ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΒΖΗ}\) και \(\widehat{ΔÊΘ}\) των ίσων τριγώνων.
