ΛΥΣΗ

α) Είναι \(\hat{\omega} = \widehat{BAK} = 60^{\circ}\) ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) που τέμνονται από την \(AB\). Επειδή οι \(\varepsilon_1\) και \(\varepsilon_2\) είναι μεταξύ τους παράλληλες και η \(BK\) σχηματίζει γωνία \(90^{\circ}\) με την \(\varepsilon_2\), τότε η \(BK\) θα είναι κάθετη στην \(\varepsilon_2\), οπότε η \(BK\) θα είναι κάθετη και στην παράλληλη της \(\varepsilon_2\), την \(\varepsilon_1\), άρα \(\hat{\varphi} = 90^{\circ}\).

β) Επειδή \(\hat{\varphi} = 90^{\circ}\) και η \(\widehat{AKB}\) είναι παραπληρωματική της, θα είναι \(\widehat{AKB} = 90^{\circ}\). Άρα το τρίγωνο \(ABK\) είναι ορθογώνιο.

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ABK\) οι οξείες γωνίες του \(\widehat{BAK}\), \(\widehat{ABK}\) είναι συμπληρωματικές δηλαδή:

$$\widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 90^{\circ} \text{ ή } 60^{\circ} + \widehat{ABK} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{ABK} = 30^{\circ}$$

Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ABK\) η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας \(\widehat{ABK}\), η \(AK\), θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας \(AB\), δηλαδή:

$$AK = \frac{AB}{2} = 3$$