ΛΥΣΗ

Έστω τρίγωνο \(ABΓ\) με \(\hat{A} = 80^{\circ}\) και \(\hat{B} = 20^{\circ} + \hat{Γ}\), η διχοτόμος \(AΔ\) της γωνίας του \(\hat{A}\).

α) Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ABΓ\) έχουμε:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } 80^{\circ} + 20^{\circ} + \hat{Γ} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } 2\hat{Γ} = 80^{\circ} \text{ ή } \hat{Γ} = 40^{\circ}$$

Άρα \(\hat{B} = 20^{\circ} + \hat{Γ} = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}\).

β) Αφού η \(AΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{A}\), θα ισχύει ότι \(\widehat{BAΔ} = \widehat{Γ AΔ} = \frac{\hat{A}}{2} = 40^{\circ}\) \((1)\).

Φέρνουμε την \(Δ E \parallel AB\).

Είναι \(\widehat{EΔ A} = \widehat{BAΔ}\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(Δ E\) και \(AB\) που τέμνονται από την \(AΔ\) με \(\widehat{BAΔ} = 40^{\circ}\) από τη σχέση \((1)\), άρα \(\widehat{EΔ A} = 40^{\circ}\).

Επίσης \(\widehat{EΔΓ} = \hat{B}\) ως εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(Δ E\) και \(AB\) που τέμνονται από την \(BΓ\) με \(\hat{B} = 60^{\circ}\) από το α) ερώτημα, άρα \(\widehat{EΔΓ} = 60^{\circ}\).