ΛΥΣΗ

α) Στο τρίγωνο \(ABΓ\) το \(EZ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(AB\) και \(AΓ\), άρα \(EZ = \frac{BΓ}{2}\) \((1)\).

Επίσης, το \(E\) είναι μέσο του \(AB\) και το \(Z\) είναι μέσο του \(AΓ\), άρα ισχύουν \(AE = \frac{AB}{2}\) \((2)\) και \(AZ = \frac{AΓ}{2}\) \((3)\).

Επειδή το \(ABΓ\) είναι ισόπλευρο, θα ισχύει ότι \(AB = AΓ = BΓ\), οπότε σε συνδυασμό με τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(EZ = AE = AZ\).

β) Στο ισόπλευρο τρίγωνο \(ABΓ\) για τις γωνίες του θα ισχύει ότι \(\hat{A} = \hat{B} = \hat{Γ} = 60^{\circ}\).

Επίσης ισχύει ότι: \(\widehat{\psi AΓ} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).

Η \(Ax\) είναι εξωτερική διχοτόμος της \(\hat{A}\), άρα \(\widehat{Δ AΓ} = \frac{\widehat{\psi AΓ}}{2} = 60^{\circ}\).

Για τις οξείες γωνίες \(\widehat{AΓΔ}\) και \(\widehat{Δ AΓ}\) του ορθογωνίου τριγώνου \(AΔΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{AΓΔ} + \widehat{Δ AΓ} = 90^{\circ}\), οπότε \(\widehat{AΓΔ} = 90^{\circ} - \widehat{Δ AΓ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(AΔΓ\), η \(Δ Z\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(AΓ\), άρα \(Δ Z = \frac{AΓ}{2} = AZ\). Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(AZ = AE\), άρα \(Δ Z = AE\) \((4)\).

Επειδή είναι \(\widehat{AΓΔ} = 30^{\circ}\), τότε η απέναντι της κάθετης πλευρά θα είναι το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(AΔ = \frac{AΓ}{2} = AZ\) \((5)\).

Από τις σχέσεις \((4)\) και \((5)\) προκύπτει ότι \(Δ Z = AZ = AΔ\).

Όμως από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(EZ = AE = AZ\).

Οπότε θα έχουμε \(Δ Z = AΔ = AE = EZ\), άρα το τετράπλευρο \(AΔ ZE\) είναι ρόμβος γιατί έχει όλες του τις πλευρές ίσες.