ΛΥΣΗ

α) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισόπλευρο, είναι \(\hat{A} = \hat{B} = \hat{Γ} = 60^{\circ}\), τότε:

$$\widehat{Δ AE} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}.$$

Επειδή το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές (\(AE = AΔ\)), ισχύει ότι \(\widehat{AΔ E} = \hat{E}\).   \((1)\)

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΔΕ\) έχουμε:

$$\widehat{AΔ E} + \hat{E} + \widehat{Δ AE} = 180^{\circ} \iff 2\widehat{AΔ E} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \iff 2\widehat{AΔ E} = 60^{\circ}, \quad \text{άρα } \widehat{AΔ E} = 30^{\circ}\ \ \ (2)$$

Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(\widehat{AΔ E} = \hat{E} = 30^{\circ}\).

β) Είναι \(\widehat{AΔ E} = \widehat{ZΔΓ} = 30^{\circ}\) ως κατακορυφήν γωνίες και \(\hat{Γ} = 60^{\circ}\).

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΔΖΓ\) προκύπτει ότι:

$$\widehat{ZΔΓ} + \widehat{Δ ZΓ} + \hat{Γ} = 180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow 30^{\circ} + \widehat{Δ ZΓ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \quad$$ $$\Leftrightarrow \widehat{Δ ZΓ} = 90^{\circ}$$

Οπότε \(EZ \perp BΓ\).