Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6837 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36337 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 25-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 5.4. Ρόμβος 5.5. Τετράγωνο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36337 | ||
| Ύλη: | 5.4. Ρόμβος 5.5. Τετράγωνο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{A} = 90^{\circ}\)) θεωρούμε τα μέσα \(Δ\), \(Ε\) και \(Ζ\) των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΑΕΖΔ\) είναι τετράγωνο, (Μονάδες 15)
β) το τετράπλευρο \(ΕΔΒΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή το \(ΔΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), θα ισχύει ότι: \(Δ Z = \frac{AΓ}{2} = AE\) \((1)\).
Επειδή το \(ΖΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), θα ισχύει ότι \(ZE = \frac{AB}{2} = AΔ\) \((2)\).
Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ορθογώνιο με \(\hat{A} = 90^{\circ}\) και ισοσκελές θα έχει τις πλευρές του \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) ίσες, άρα και τα μισά τους ίσα, δηλαδή \(\frac{AB}{2} = \frac{AΓ}{2}\) ή \(AE = EΓ = AΔ = Δ B\) \((3)\).
Από τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(ΑΕ = ΖΕ = ΔΖ = ΑΔ\), οπότε το τετράπλευρο \(ΑΕΖΔ\) έχει τις πλευρές ίσες άρα θα είναι ρόμβος και επειδή έχει και μια ορθή γωνία, τη γωνία \(Α\), θα είναι ορθογώνιο, άρα θα είναι τετράγωνο.
β) Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) άρα \(Δ E \parallel BΓ\). Οι πλευρές \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο \(Α\), οπότε δεν είναι παράλληλες. Άρα το τετράπλευρο \(ΕΔΒΓ\) είναι τραπέζιο.
Από τη σχέση \((3)\) έχουμε ότι \(ΔΒ = ΕΓ\), άρα το τετράπλευρο \(ΕΔΒΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
