ΛΥΣΗ

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΕΟ\) και \(ΓΔΟ\) έχουν:

• \(ΟΑ = ΟΓ\) ως ακτίνες κύκλου

• \(\hat{O}\) κοινή γωνία,

Άρα τα τρίγωνα \(ΑΕΟ\) και \(ΓΔΟ\) είναι ίσα, επειδή έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε θα έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες, δηλαδή \(\widehat{OAE} = \widehat{OΓΔ}\), άρα και \(ΟΕ = ΟΔ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{OAE}\), \(\widehat{OΓΔ}\) αντίστοιχα. Επομένως το τρίγωνο \(ΟΔΕ\) είναι ισοσκελές.

β)

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΖΔΟ\) και \(ΖΕΟ\) έχουν:

• \(ΟΔ = ΟΕ\), από το ερώτημα (α)

• \(ΟΖ\) κοινή πλευρά,

Άρα τα τρίγωνα \(ΖΔΟ\) και \(ΖΕΟ\) είναι ίσα, γιατί έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε θα έχουν \(\widehat{Δ ZO} = \widehat{EZO}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΟΔ\) και \(ΟΕ\) αντίστοιχα, αλλά και τις τρίτες γωνίες τους ίσες, δηλαδή \(\widehat{Δ OZ} = \widehat{ZOE}\) ή \(\widehat{AO\Theta} = \widehat{\Theta OE}\), όπου \(Θ\) το σημείο τομής της \(ΟΖ\) με τον κύκλο. Άρα η \(ΟΖ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{AOΓ}\).

Οι γωνίες \(\widehat{AO\Theta}\) και \(\widehat{\Theta OΓ}\) είναι επίκεντρες και ίσες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα \(\widehat{A\Theta}\) και \(\widehat{\ThetaΓ}\) είναι ίσα, άρα το \(Θ\) είναι μέσο του τόξου \(ΑΓ\).