Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6261 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36349 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 26-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.4. Ρόμβος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36349 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.4. Ρόμβος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 26-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Έστω κύκλος με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\). Θεωρούμε ακτίνα \(ΟΑ\) και χορδή \(ΒΓ\) κάθετη στο μέσο της \(Μ\).
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \(ΑΓΟΒ\) είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου \(ΑΓΟΒ\). (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(BΓ \perp OA\), οπότε και \(BΓ \perp OM\), τότε το \(ΟΜ\) είναι απόστημα της χορδής \(ΒΓ\), άρα το \(Μ\) είναι μέσο της.
Από υπόθεση το \(Μ\) είναι μέσο και της \(ΟΑ\), οπότε τα τμήματα \(ΟΑ\) και \(ΒΓ\) του \(ΑΓΟΒ\) διχοτομούνται. Άρα το \(ΑΓΟΒ\) είναι παραλληλόγραμμο επειδή οι διαγώνιοί του \(ΟΑ\), \(ΒΓ\) διχοτομούνται.
Επιπλέον \(OA \perp BΓ\), δηλαδή οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου \(ΑΓΟΒ\) είναι κάθετες. Άρα το \(ΑΓΟΒ\) είναι ρόμβος.
β) Στο τρίγωνο \(ΒΟΑ\) το τμήμα \(ΒΜ\) είναι ύψος (\(BΓ \perp OA\) από δεδομένα) και διάμεσος (\(BΓ \perp OA\) και \(Μ\) μέσο \(ΟΑ\) από δεδομένα), άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με \(ΒΟ = ΒΑ\).
Τότε \(ΟΑ = ΒΟ = ΒΑ = ρ\), οπότε το τρίγωνο \(ΒΟΑ\) είναι ισόπλευρο και επομένως:
$$\widehat{BOA} = \widehat{BAO} = \widehat{OBA} = 60^{\circ}$$
Όμοια, το \(ΓΜ\) είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου \(ΟΓΑ\), οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με \(ΟΑ = ΟΓ = ρ\).
Τότε όμως \(ΟΑ = ΟΓ = ΓΑ = ρ\), οπότε το τρίγωνο \(ΓΟΑ\) είναι ισόπλευρο και επομένως:
$$\widehat{Γ OA} = \widehat{Γ AO} = \widehat{OΓ A} = 60^{\circ}$$
Είναι \(\widehat{BOΓ} = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} = \widehat{BAΓ}\), επειδή \(\widehat{BOΓ} = \widehat{BAΓ}\) ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου \(ΑΓΟΒ\).
