Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4612 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36350 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 26-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36350 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 26-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(\stackrel{Δ}{ABΓ}\) (\(ΑΒ = ΑΓ\)). Στις προεκτάσεις των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) προς το \(Α\) φέρνουμε τμήματα \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) κάθετα στις \(ΑΓ\) και \(ΑΒ\) αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι \(ΒΔ = ΓΕ\). (Μονάδες 10)
β) Αν το σημείο \(Μ\) είναι το μέσο της \(ΒΓ\), τότε να αποδείξετε ότι:
i. \(ΜΔ = ΜΕ\), (Μονάδες 8)
ii. η \(ΜΑ\) διχοτομεί τη γωνία \(\widehat{ΔME}\). (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΕΓ\) έχουν:
\(ΑΒ = ΑΓ\) από υπόθεση
\(\hat{A}_1 = \hat{A}_2\) ως κατακορυφήν.
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΕΓ\) είναι ίσα γιατί έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε και \(ΒΔ = ΓΕ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{A}_1\) και \(\hat{A}_2\) αντίστοιχα.
β) Το \(ΔΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΔΒΓ\), άρα \(Δ M = \frac{BΓ}{2}\) \((1)\).
Το \(ΕΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΕΒΓ\), άρα \(EM = \frac{BΓ}{2}\) \((2)\).
Από τις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(ΜΔ = ΜΕ\), οπότε το τρίγωνο \(ΔΜΕ\) είναι ισοσκελές.
Επειδή τα τρίγωνα \(ΔΒΑ\) και \(ΕΑΓ\) είναι ίσα από το (α) ερώτημα, θα έχουν και τις τρίτες τους πλευρές ίσες, δηλαδή \(ΑΔ = ΑΕ\).
Επειδή είναι \(ΜΔ = ΜΕ\) και \(ΑΔ = ΑΕ\), τα \(Μ\) και \(Α\) ισαπέχουν από τα σημεία \(Δ\) και \(Ε\), άρα η \(ΜΑ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΔΕ\).
Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΜΔΕ\), η \(ΜΑ\) είναι μεσοκάθετος της βάσης του \(ΔΕ\), άρα θα είναι και διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΔME}\).
